Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Déterminer les inversibles de l'anneau Z/sqrt(2)Z
Bonjour à tous, j'ai commencé à étudier les groupes en cours et j'essaie d'appronfondir le sujet, mais un exercice me pose problème.
Déterminez (x,y) entiers tels que x^2 - 2y^2=1
ce qui équivaut à (x-y*sqrt(2) )*(x+y*sqrt(2))=1
Cela revient à chercher les élément inversibles de l'anneau Z/sqrt(2)Z.
J'ai vu sur un forum que la solution consistait à dire que y=1+sqrt(2) était générateur des solutions (ie (1+sqrt(2)^x engendrait les inversibles ).
or (1+sqrt(2))*(1-sqrt(2))=-1
donc les solutions sont (1+sqrt(2))^2x = (3+2*sqrt(2))^x.
Mon problème est que je ne comprends pas comment montrer que les inversibles sont engendrés par un élément et comment trouver ce générateur.
Il est possible qu'il y ait des erreurs , merci de votre compréhension.
Je viens de vérifier et je me suis bien trompé il semble que la notation soit Z[sqrt(2)] et non Z/sqrt(2)Z
Bonjour,
ton anneau est muni d'une "norme" N( a + b V 2) = a2-2b2 . Et tu dois savoir que la valeur vaut 1 ou -1 si et seulement si tu as affaire à un inversible.
Ensuite si z est dans un groupe zn y est aussi, la difficulté est de trouver z le plus "petit" possible (positif) différent du neutre et de montrer qu'il existe 3 + 2V 2 semble convenir ... Ce n'est pas évident de trouver le générateur il y a plusieurs étapes...
Bonjour,
De quel groupe parle-t-on ? Du groupe des inversibles de ou du groupe de ses éléments de norme 1 ?
L'élément est inversible et d'inverse
.
Du coup, avec une récurrence, on peut trouver les .
Si on écrit , il vient les relations
avec
Les premiers sont :
etc
Et bien entendu, on prend les opposés et conjugués de ces objets.
Une recherche excel amène à poser comme conjecture qu'il n'y a pas d'autre solution que celle exposées ci-dessus.
Sauf erreur, bien entendu
Bonjour,
De quel groupe parle-t-on ? Du groupe des inversibles de
Nous parlons du groupe des inversibles de Z[sqrt(2)].
L'élément
Du coup, avec une récurrence, on peut trouver les
Si on écrit
avec
Les premiers sont :
etc
Et bien entendu, on prend les opposés et conjugués de ces objets.
Une recherche excel amène à poser comme conjecture qu'il n'y a pas d'autre solution que celle exposées ci-dessus.
Sauf erreur, bien entendu
Mon problème n'est pas là , je veux savoir comment on a su que 1 +sqrt(2) est un générateur du groupes des inversibles.
Je ne sais pas si c'est un générateur des inversibles, mais en tout cas, je n'ai pas "plus petit" qui ne soit pas le neutre, et qui soit inversible ( ne l'est pas).
Comme je pense qu'il n'y a pas d'autres inversibles autres que les puissances de , ainsi que leur conjugués et opposés, j'imagine que
doit être un générateur du groupe des unités de
.
Ou si tu préfères, je n'arrive pas à trouver d'autres couple d'entiers vérifiant , autre que ceux que j'ai exposés.
Mais bon, tout cela demande à être démontré et je sais pas faire.
Mais on peut faire une petite analyse de l'équation : si x et y sont plus grand que 2 alors
- x est impair
- y est pair
- x et y sont premiers entre eux (Bezout)
Nous parlons du groupe des inversibles de Z[sqrt(2)].
Je croyais que ton exercice consistait à trouver les éléments de norme 1 ? Bon, d'accord, parlons des inversibles.
je veux savoir comment on a su que 1 +sqrt(2) est un générateur du groupes des inversibles.
C'est un générateur du groupe des inversibles positifs (l'ordre étant donné par le plongement dans
Tiens, tu devrais trouver ton bonheur ici : 
Anneau Z[V2] Eléments inversibles
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac