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Niveau terminale
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Déterminer réels a et b

Posté par
lou1100 27-10-22 à 12:10

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour cet exercice.
1) Calculer ( \left(\frac{1}{2}+ i\sqrt{3} \right)^4
2) Déterminer les réels a et b tels que \left(a+ib \right)^4 = \frac{73}{16}-i\frac{11\sqrt{3}}{2}

Je pense avoir réussi la première question en utilisant le binôme de Newton

1) \left(\frac{1}{2} \right)^4 + 4 \times \left(\frac{1}{2} \right)^3 \times \left(i\sqrt{3} \right) + 6\times \left(\frac{1}{2} \right)^2 \times \left(i\sqrt{3} \right)^2 + 4\times \left(\frac{1}{2} \right)\times \left(i\sqrt{3} \right)^3 + \left(i\sqrt{3} \right)^4

= \frac{1}{16}+ 4\times \frac{\sqrt{3}}{8}i + 6 \times \left(-\frac{3}{4} \right)+4 \times \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2} \right i) + 9

= \frac{1}{16}+\frac{\sqrt{3}}{2}i -\frac{9}{2}-6\sqrt{3}i + 9

= \frac{73}{16} - i\frac{11\sqrt{3}}{2}

2) J'ai essayé de développer comme dans la question 1 mais je suis bloquée avec les exposants.


Merci d'avance pour votre aide
lou1100

Posté par
carpediemre : Déterminer réels a et b 27-10-22 à 12:27

salut

il suffit de reconnaitre une identité remarquable dans a^4 - b^4 ...

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 27-10-22 à 12:55

\left(a+ib \right)^4= a^4 + 4 \times a^3 \times ib + 6 \times a^2 \times (ib)^2 + 4\times a \times (ib)^3 + (ib)^4

=a^4 + 4\times a^3 \times ib + 6 \times a^2 \times (-b)^2 + 4 \times a\times (-ib)^3 + b^4

=

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 27-10-22 à 12:58

a^4 + 4 \times a^3 \times ib + 6 \times a^2 \times b + 4 \times a \times (-ib) + b^4

Posté par
carpediemre : Déterminer réels a et b 27-10-22 à 13:42

réponds-tu à la question que je t'ai posée ?

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 27-10-22 à 16:01

Peut-être ( a + b )(a - b) ?

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 27-10-22 à 17:12

La bonne réponse à votre question est (a^2 +b^2)(a^2-b^2)

Posté par
carpediemre : Déterminer réels a et b 27-10-22 à 19:06

ben faudrait peut-être factoriser au maximum !!

sans oublier que dans C on peut toujours factoriser ...

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 27-10-22 à 20:51

On retombe sur a^4-b^4

Posté par
carpediemre : Déterminer réels a et b 27-10-22 à 20:52

carpediem @ 27-10-2022 à 19:06

ben faudrait peut-être factoriser au maximum !!

sans oublier que dans C on peut toujours factoriser ...

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 27-10-22 à 22:28

[(a+b)(a - b)][(a + b)(a - b )] = (a + b)^2 ( a - b)^2

Posté par
carpediemre : Déterminer réels a et b 27-10-22 à 22:50

faux ...

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 10:31

(a^2+b^2)(a^2-b^2)= [(a+b)(a+b)][(a + b)(a-b)] = ( a + b)^2(2a)

Posté par
carpediemre : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 11:03

faux ...

et rappel :

carpediem @ 27-10-2022 à 19:06

ben faudrait peut-être factoriser au maximum !!

sans oublier que dans C on peut toujours factoriser ...

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 11:23

Je n'ai pas d'idée...

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 11:29

a^4-b^4 = ( a -b )(a+b)( a^2+b^2)

Posté par
carpediemre : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 11:34

ok ... maintenant on travaille dans C

a^2 + b^2 = a^2 - ... ?

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 11:41

a^2- 1 ?

Posté par
carpediemre : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 11:42

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 11:46

Je ne sais pas....

Posté par
carpediemre : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 11:52

i^2 = ...?  donc a^2 + b^2 = a^2 - ...

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 12:02

i^2 = -1 donc a^2 + b^2 = a^2 - b ( comme dans l'énoncé c'est écrit ib )

Posté par
carpediemre : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 12:09

faux ...

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 12:30

Donc a^2 + b^2 = a^2 - 1 ? mais ça je l'ai déjà écrit...

Posté par
malou Webmasterre : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 13:01

petit dépannage en passant

Citation :
Donc a^2 + b^2 = a^2 - 1 (-b²) si tu veux retrouver ton membre de gauche


mais i² = -1
remplace !

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 13:38

a^2+b^2 = a^2 + b^2

Posté par
carpediemre : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 13:39

ha ben ça c'est sûr !! mais bon cela fait-il avancer le schmilblick ?

niveau collège : x + y = x - (-y)

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 13:48

Tout s'annule non ?

Posté par
carpediemre : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 14:07

Posté par
malou Webmasterre : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 14:25

bon, on va peut-être faire avancer un peu les choses...

malou @ 28-10-2022 à 13:01

petit dépannage en passant

Citation :
Donc a^2 + b^2 = a^2 - 1 (-b²) si tu veux retrouver ton membre de gauche


mais i² = -1
remplace !


ce qui donne a^2 + b^2=a^2-1 (-b^2)=a^2+i^2(-b^2)=a^2-i^2b^2=\dots

et maintenant identité remarquable

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 14:34

(a+ib)(a-ib)

Posté par
malou Webmasterre : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 14:46

alors cette partie là est OK

maintenant personnellement, avoir demandé une factorisation avec les lettres a et b alors qu'il y en a déjà dans l'énoncé mais que cela ne représente pas la même chose, cela ne facilite pas les choses


A^4=B^4 ssi A^4-B^4=0 ssi (A^2-B^2)(A^2+B^2)=0 ssi (A-B)(A+B)(A-iB)(A-iB)=0 ssi ....il n'y a plus qu'à donner les solutions

en sachant que toi tu as à résoudre

\left(a+ib \right)^4 = \frac{73}{16}-i\frac{11\sqrt{3}}{2}
soit
\left(a+ib \right)^4 = \left(\frac{1}{2}+ i\sqrt{3} \right)^4

qui est bien du type A^4=B^4 en posant ....

vois-tu mieux ?

Posté par
carpediemre : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 15:08

dommage de tout lui dire ...

j'aurai voulu lui faire trouver par elle-même ...

PS : j'en connais qui se sont fait censuré pour ce motif ... et j'étais là le premier !!

Posté par
malou Webmasterre : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 15:15

carpediem, j'ai compté sur cette page 10 messages plus que laconiques de ta part qui n'ont pas du tout fait avancer l'exo
ça peut durer longtemps ...

Posté par
carpediemre : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 15:19

des msg  laconiques ? où ça ?

toutes mes interventions sont pédagogiques !!

Posté par
malou Webmasterre : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 15:22

; faux ; entre autres...
....

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 17:22

Merci pour votre aide !
Je poste la réponse dans la soirée

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 21:08


A^4 = B^4 si A^4 - B^4 = 0 si (A^2-B^2)(A^2+B^2)= 0 si ( A- B)(A+B)(A-ib)(A-ib) = 0

On pose A = ( a + ib) et B = ( \frac{1}{2}+ i\sqrt{3})

(a+ib)^4 = (\frac{1}{2}+i\sqrt{3})^4 si (a+ib) ^4 - (\frac{1}{2}+i\sqrt{3})^4 = 0 si (a+ib^2-(\frac{1}{2}+i\sqrt{3})^2)(a+ib^2+^(\frac{1}{2}+i\sqrt{3})^2)= 0 si ( a+ib - (\frac{1}{2}+i\sqrt{3}))(a+ib+(\frac{1}{2}+i\sqrt{3}))(a -ib)( a -ib) = 0

Posté par
malou Webmasterre : Déterminer réels a et b 28-10-22 à 21:54

Fais tout avec A et B
Et au tout dernier moment tu remplaceras

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 29-10-22 à 11:53

A^4 = B^4
A^4 - B^4 = 0
(A^2 - B^2)(A^2 + B^2)= 0
(A-B)(A+B)(A-ib)(A-ib)

Mais je ne pense pas répondre à votre demande.
Je ne sais pas trop quoi faire avec ces expressions. Est-ce qu'on va faire un système pour trouver les solutions ?

Posté par
malou Webmasterre : Déterminer réels a et b 29-10-22 à 12:07

Fais attention
Ce sont des grands B
Et où est passé le = 0
C'est ça qui te manque pour pouvoir finir

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 29-10-22 à 14:53

A^4 = B^4 \\ A^4-B^4 = 0 \\ (A^2-B^2)(A^2+B^2) = 0 \\ (A-B)(A+B)(A-iB)(A-iB)=0

Posté par
malou Webmasterre : Déterminer réels a et b 29-10-22 à 14:54

Oui continue
Qu'en déduis tu de la dernière ligne ?

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 29-10-22 à 15:16

Il y a une partie réelle [(A-B)(A+B)] et une partie imaginaire
((A-iB)(A-iB)]

Posté par
malou Webmasterre : Déterminer réels a et b 29-10-22 à 16:30

non, tu écris un peu n'importe quoi sur ce coup là...tu as posé A= et B= et tu vois bien que ce que tu dis est faux, car dans A et B tu as des parties réelles et des parties imaginaires !

je fais appel à un résultat niveau collège
tu as un produit de facteurs qui est nul...

que peux-tu en déduire ?

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 30-10-22 à 01:50

Un produit de facteurs est nul alors au moins un des facteurs est nul.
On peut déduire que soit A=0 ou B=0
Veuillez m'excuser pour le temps de réponse je n'étais pas disponible. La prochaine fois je vous préviendrai

Posté par
malou Webmasterre : Déterminer réels a et b 30-10-22 à 07:59

Citation :
Un produit de facteurs est nul ssi au moins un des facteurs est nul.

je suis d'accord
sauf que les facteurs ne sont ni A ni B
concentre toi un peu peut-être sur ce que tu fais ?

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 30-10-22 à 11:51

Les facteurs pouvant être = 0 sont :
(A-B) = 0 \\ (A+B)= 0 \\ (A-iB) = 0

Posté par
malou Webmasterre : Déterminer réels a et b 30-10-22 à 12:02

pourquoi 3 et pas le quatrième ?

Posté par
lou1100re : Déterminer réels a et b 30-10-22 à 12:20

Je pensais que comme il était écrit deux fois on pouvait le noter une fois
(A-B)=0 \\ (A+B)=0 \\ (A-iB)=0 \\ (A-iB)=0

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