Bonjour,

non cela doit donner 1 quel que soit x
il ne s'agit absolument pas d'une équation en x à résoudre
mai d'écrire que l'expressioon
a(x+1)(x+2)+b(x+2)x+c(x+1)x}{x(x+1)(x+2)
(une fois développée et réduite en x²(a+b+c)+x(3a+b+c)+2a-1, je te fais confiance, j'ai pas vérifié)

est totalement identique à 0x² + 0x + 1
c'est à dire que
... = 0
et que
... = 0
et que
... = 1

qui est un système d'équations en les inconnues a,b,c (y a plus du tout aucun x là dedans)

Bonjour,

Identifier les coefficients d'un polynôme, ce n'est pas calculer un discriminant !!
Donc, après développement du numérateur tu trouves :
x² (a+b+c) + x(3a+b+c) + 2a - 1

coefficient en x² : il n'y en a pas ! Donc a+b+c = ...
coefficient en x : pareil ! Donc 3a+b+c = ...
constante : doit être égal à 1. Donc ...

La dernière équation permet d'obtenir "a".
Puis système d'équations à 2 inconnues pour obtenir b et c.

Bonjour

C'est une méthode… Tu as une erreur: le coefficient de x dans le développement est 3a+2b+c. Ensuite tu n'as pas besoin du discriminant. Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Ceci donne un système très facile à résoudre.

Autre méthode: c'est une astuce, mais très agréable à utiliser. Sur l'égalité donnée au début, multiplie les deux membres par x, puis fais x=0. Pareil pour les autres!

Bonjour,

comme ta relation (a+b+c)*x^2 + (3a+b+c)*x + (2a-1) = 0 doit être vrai quel que soit x, ça te fait un système à 3 équations et 3 inconnues.

Merci beaucoup de votre aide, j'étais plongé dedans et je n'ai pas vu l'essentiel.
Je trouve:
     

autre façon rigolote de répondre à la question, on apprends ça en maths sup :

tu poses comme tu as fait.

mentalement tu multiplies les deux cotés par x et tu fais x = 0 ça te donne immédiatement a=1/2
tu fais pareil en multipliant les deux cotés par x+1 et en faisant x=-1 ça donne b = -1
tu multiplies les deux cotés par x+2 et tu fais x=-2 qui donne c = 1/2

En effet c'est une bonne méthode !
Marche t'elle à chaque fois ?

oui quand la décomposition est simple, mais quand il y a des carrés comme
1/((x-1)²(x-2)²) = a/(x-1) +b/(x-1)²+c/(x-2) +d/(x-2)² ça se complique et il faut utiliser des astuces en plus. on peut bien sûr continuer à multiplier les deux cotés par (x-1)² et faire x=1 (qui donnerait 1 = b ) et pareil pour (x-2)² mais on peut utiliser d'autres astuces comme :
- multiplier les deux cotés par x-1 et faire tendre x vers l'infini
(ça donnerait ici a + c = 0)
- donner des valeurs particulières à x comme x=0 (qui donnerait 1 / 4 = -a + b -c/2 +d/4)
- on peut même donner des valeurs complexes quand ça s'y prête
(exemple 1/(x(x²+1) ) = a/x + (bx+c)/(x²+1) on peut multiplier les deux cotés par x²+1 et faire x = i qui donnerait 1/i = bi +c donc b =-1 et c = 0 et le a en multipliant par x et en faisant x=0 qui donne 1 = a et donc on a presque sans calculs
1/(x(x²+1) ) = 1/x - x/(x²+1)