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Déterminer z1, z2 et z3
Bonjour,
J'ai un exercice a faire mais je suis bloqué dès la première question. Voici l'énoncé :
Soit trois nombres complexes z1,z2 et z3 de modules inférieurs ou égales à 1 et vérifiant les égalités :
z1z2z3= 1 et z1+z2+z3= 1
I.1. Montrer que ces trois nombres complexes sont de module 1
2. Montrer alors que 1/z1+1/z2+1/z3= 1, puis en déduire que
z1z2+z2z3+z1z3= 1
II.1. Montrer que (z-z1)(z-z2)(z-z3)= z3-z²+z-1. Ce polynôme sera noté P(z).
2. Vérifier que 1 est racine du polynôme P.
3. En déduire une factorisation de P(z) en polynôme de degré 1 par un polynôme de degré 2.
4. Déduire les valeurs de z1,z2 et z3.
Pouvez-vous m'indiquer des pistes s'il vous plait ?
Bonjour,
J'admets 1) pour l'instant et je donne une piste pour 2.
z1+z2+z3 = 1 donc conjugué de (z1+z2+z3) = conjugué de 1 .
D'après 1), conjugué de z1 = 1/z1.
Salut,
Pour le 1 :
Il est dit que les trois nombres sont de modules inférieurs ou égaux à 1.
Si on suppose que l'un d'eux a un module strictement inférieur à 1 , alors |z1z2z3| = |z1||z2||z3| < 1 , ce qui contredit le fait que z1z2z3 = 1 ...
Salut Yzz je n'ai pas vraiment compris où tu veux en venir. Peut tu me le réexpliquer autrement s'il te plait ?
Bonjour Sylvieg, comment sait-on que z1(barre)= 1/z1 ? Est-ce que cela veut dire que le conjugué de z2= 1/z2 ?
Si |z| = 1 alors z
= 1 .
Cela doit être dans ton cours et vient de z = a2+b2 = |z|2 .
Pour le 1), je ne voyais pas comment l'expliquer de manière simple ; je vais essayer de le justifier par l'absurde en sachant qu'il y a peut-être plus intuitif :
Je note r , s et t les trois modules pour faciliter l'écriture.
Les données sont 0 
r 1 0 s 1 0 t 1 rst = 1
D'où 0 rs 1 .
En multipliant par t : 0 rst t .
Or rst = 1 ; donc 1 t .
or t 1 ; donc t = 1 .
Finalement, pas de raisonnement par l'absurde.
Intuitivement, si l'un des trois facteur est strictement inférieur à 1, le produit est inférieur strict à 1.
Bonsoir Sylvieg,
J'ai compris ce que vous avez écrit mais je ne comprends pas comment grâce a vos indications je peux montrer que ces trois nombres complexes sont de module 1 ?
J'ai démontré t = 1 ; on pourrait démontrer de même r = 1 ou s = 1 .
Petit rappel :
Je note r , s et t les trois modules pour faciliter l'écriture
D'accord donc ce que vous avez fait c'est montrer que les nombres sont de module 1 ?
Vous avez dit que est-ce que cela marche aussi avec z2 ?
Pour la question I.1. ça reste un peu flou mais pour la question I.2. j'ai mis ça :
Or d'apres I.1. on a :
Donc
Ensuite je suis de nouveau bloqué pour cette expression :
z1z2+z2z3+z1z3= 1
J'ai trouver ceci pour l'expression :
On sait que
Donc
Alors :
J'ai ensuite réussi la II.1. et la II.2. mais je bloque a la II.3. qui est :
En déduire une factorisation de P(z) en polynôme de degré 1 par un polynôme de degré 2.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?
3. fait appel à une propriété qui n'est peut-être plus au programme :
P(x) étant un polynôme, si P(
) = 0 alors P(x) est factorisable par (x-).
la propriété est vraie si on travaille dans 
mais aussi dans 
.
Ici, il s'agit donc de chercher une factorisation de z3-z²+z-1 par (z-1).
Bonjour Sylvieg,
J'ai fait comme vous m'avez dit de faire et j'ai obtenue ceci :
C'est bien ça ?
Cependant je ne voit pas trop comment en déduire les valeurs de ,
et
.
Pouvez vous m'aider s'il vous plait ?
C'est bien ça 
D'après 1. résoudre P(z) = 0 revient à résoudre (z-z1)(z-z2)(z-z3) = 0
Et les solutions de cette dernière équation sont z1, z2 et z3.
je crois qu'il faut dire : Un produit est nul ssi un de ses facteurs est nul donc :
Donc les solutions sont 3, 7 et 15.
C'est bien ça ?
Oui.
De même les solutions de (z-z1)(z-z2)(z-z3) = 0 sont z1, z2 et z3.
On peut aussi trouver ces trois solutions à partir de = 0 .
Pour cela il suffit d'écrire z - 1 = 0 ou z2 + 1 = 0 et de savoir quelles sont les deux solutions de z2 = -1 .
P(z) = z³-z²+z-1
= z²(z-1) + (z-1)
= (z-1).(z²+1)
= (z-1).(z² - i²)
= (z-1).(z-i).(z+i)
P(z) = 0
(z-1).(z-i).(z+i) = 0
S:{1 ; -i ; i}
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Bonsoir, j'ai compris l'ensemble de l'exercice mais j'ai encore quelques soucis avec la question 1.a , j'ai du mal à comprendre l'explication qui a été donnée. Pouvez-vous m'éclairer 'il vous plaît ?
Je vous remercié d'avance
Bonjour,
Je suppose qu'il s'agit de la toute première question : Montrer que ces trois nombres complexes sont de module 1 .
Je reprends les explications du 04/01/2014 8h28 :
Je note r , s et t les trois modules pour faciliter l'écriture.
D'après les données on a 0 r 1 et 0 s 1 . D'où 0 rs 1 .
En multipliant par t : 0 rst t .
Or rst = 1 car z1z2z3= 1 ; donc 1 t .
Par ailleurs t 1 ; donc t = 1 .
On peut démontrer de même que r = 1 et s = 1 .
Précise où cela coince.
Bonjour,
Nous avons 3 nombres et seulement 2 équations,donc la contrainte
modulaire doit jouer,
Alain
en fait je ne comprends pas pourquoi vous faites une multiplication des modules mais aussi pourquoi savez vous que le résultat est 1, vous admettez directement que les modules sont égaux à 1 c'est cela ?
Dans les données il y a z1z2z3= 1 .
Il y a une formule :
|zz'| = |z||z'|
D'où |z1||z2||z3| = |z1z2z3| = |1| = 1
On peut faire moins de multiplications.
En notant r , s et t les trois modules pour faciliter l'écriture.
D'après les données, on a 0 r 1 , 0 s 1 , 0 t 1 et rst = 1 .
Pour démontrer t = 1 on utilise t = 1/(rs) et 0 rs 1 :
1/(rs) 
1 ; donc t 1 qui s'écrit aussi 1 t
D'où 1 t 1 ; donc t = 1 .
Bonjour,
La contrainte modulaire se traduit par le fait que les trois points
appartiennent au cercle de rayon 1 ,centré en (0,0).
Impose à ces points d' être sur la circonférence unité ou encore
ont pour module 1,
...
Alain
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