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!!DeugMIAS demande aide pour sujet d oral(bloqué preska la fin!)
> Salut, voilà, il s'agit du sujet d'oral qu je dois présenter
demain
> Soit f une fonction continue sur [0,1] et U(n) la suite définie par:
> /1
> l
> U (n)=lx^n*f(x)dx (intégrale de 0à1 de f(x)*x^n dx)
> l
> /0
> Montrer que lim U(n)=f(1) lorsque n tend vers +infini.
En effectuant le changement de variable
y=x^n+1, .
J'arrive à obtenir nU(n)=n/(n+1)*intégrale de 0 à 1 de f(y^(1/(n+1)))
dy
> et donc lim nU(n)=lim de int de 0 a 1 de f(y^etc) car n/(n+1) tend
vers 1 kan n tend vers +infini
> mais à partir d'ici, je ne sais plus koi faire.
> J'ai essayé une intégration par parties, mais on ne sait pas
si f est dérivable!!!
> Donc, je n'ai pas le droit.
Sinon, il faudrait utiliser le fait que f est continue sur [0,1] mais je
ne sais pas trop comment m'y prendre, je suis bloqué ici!!!
Aidez moi svp!!! Merci
comprend pas comment tu obtient ton resultat!!
Je fais le changement de variable y=x^(n+1)
Puis tu simplifie l'expression obtenue dans n*U(n)....
Désolé j'avais cru que tu faisais y=(x^n)+1 et je trouvais pas
comme toi.....
J'espere qu'entre temps tu auras trouvé ta solution
n*U(n) = S[0 =< y =< 1](f(y^(1/(n+1)).dy) = S[0 =< y =< e(n)](f(y^(1/(n+1))).dy)
+S[e(n) =< y =< 1](f(y^(1/(n+1))).dy)
f est bornée puisque continue donc Bi*e(n) =< S[0 =< y =< e(n)](f(y^(1/(n+1))).dy)
=< Bs*e(n) ; Bi,Bs étant des bornes inférieure,supérieure de f
sur [0,1].
Notons v(n) = S[e(n) =< y =< 1](f(y^(1/(n+1)).dy)
On a : Bi*e(n) + v(n) =< n*U(n) =< Bs*e(n) + v(n)
On choisit e(n) tel que si n-->+infini alors e(n)-->0 et e(n)^(1/(n+1)
--> 1 : par ex . e(n) = 1/n
Si n---> +infini alors v(n) = S[e(n) =< y =< 1](f(y^(1/(n+1))).dy) tend
vers 1-e puisque y^(1/(n+1)) --> 1 et f est continue .
Il en résulte n*U(n) --> 1 ...
n*U(n) = S[0 =< y =< 1](f(y^(1/(n+1)).dy) = S[0 =< y =< e(n)](f(y^(1/(n+1))).dy)
+S[e(n) =< y =< 1](f(y^(1/(n+1))).dy)
f est bornée puisque continue donc Bi*e(n) =< S[0 =< y =< e(n)](f(y^(1/(n+1))).dy)
=< Bs*e(n) ; Bi,Bs étant des bornes inférieure,supérieure de f
sur [0,1].
Notons v(n) = S[e(n) =< y =< 1](f(y^(1/(n+1)).dy)
On a : Bi*e(n) + v(n) =< n*U(n) =< Bs*e(n) + v(n)
On choisit e(n) tel que si n-->+infini alors e(n)-->0 et e(n)^(1/(n+1)
--> 1 : par ex . e(n) = 1/n
Si n---> +infini alors v(n) = S[e(n) =< y =< 1](f(y^(1/(n+1))).dy) tend
vers 1-e puisque y^(1/(n+1)) --> 1 et f est continue .
Il en résulte n*U(n) --> 1 ...
Juste une correction de rédaction :
Si n---> +infini alors v(n) = S[e(n) =< y =< 1](f(y^(1/(n+1))).dy) tend
vers 1 puisque y^(1/(n+1)) --> 1 et f est continue .
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