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Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (2/4)

Posté par
littleguy
25-11-15 à 19:00

La suite donc :

On se propose de former des nombres en utilisant en tout exactement deux fois le chiffre 2, trois fois le chiffre 3, cinq fois le chiffre 5 et sept fois le chiffre 7, à l'exclusion de tout autre chiffre, puis de calculer leur somme S.

Par exemple on peut former : 3, 352, 757, 7755 et 375772.
On bien utilisé exactement deux fois le chiffre 2, trois fois le chiffre 3, cinq fois le chiffre 5, sept fois le chiffre 7 et aucun autre chiffre ; et on a S = 384639

Episode 2/4 :

L'objectif est de ne former que des nombres premiers et distincts et tels que la somme des chiffres de S soit la plus petite possible.

Que proposez-vous ?

Posté par
rschoon
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (2/4) 25-11-15 à 23:48

gagnéBonjour à tous.

Je propose : 2, 3, 5, 7, 23, 73, 557, 577, 757 dont la somme est 2004

Merci pour l'énigme.

Posté par
mdr_non
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (2/4) 26-11-15 à 00:28

gagnébonsoir : )

merci : )
somme : 6
S = 2 211
3
23
37
257
557
577
757

Posté par
LeDino
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (2/4) 26-11-15 à 03:01

gagnéBonsoir,

Je propose la série suivante :
2  +  3  +  5  +  7  +  53  +  73  +  557  +  577  +  727  =  2004
Dont la somme des chiffres est  6.

J'ai plein de solutions à 6.
Moins de 4 est impossible.
4 ou 5 est peut-être possible... mais je renonce à chercher.

Bravo à qui trouvera mieux.
Et merci pour cette série bien casse-tête !

Posté par
dpi
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (2/4) 26-11-15 à 12:06

gagnéSuite

Pour 2/4 ma somme des chiffres est 6 pour:
2211=3+23+37+257+557+577+757

Posté par
LeDino
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (2/4) 26-11-15 à 13:10

gagnéJuste un complément :

Avec un peu de recul, je pense que 6 est bien la somme de chiffres de S minimale.
En effet, la somme S est congrue à  2²+3²+5²+7²  qui est congrue à 6 modulo 9.
Donc la somme des chiffres de S est divisible par 3.

La somme minimale des chiffres de S est donc 3 ou 6 (puisqu'il y a des cas à 6).
Or je pense que 3 n'est pas atteignable, S ayant au moins 4 chiffres, dont le premier est au moins de 2 (par élimination). Et je pense que 2001, 2010 et 2100 ne sont pas réalisables pour S.

Donc ça sent bon ...

Posté par
torio
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (2/4) 26-11-15 à 17:38

gagné{3, 5, 7, 53, 227, 557, 577, 773}

S =  2202

Somme des chiffres = 6

A+
Torio

Posté par
LittleFox
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (2/4) 26-11-15 à 18:14

gagné
Je propose 2, 3, 5, 7, 23, 73, 557, 577 et 757 dont la somme vaut 2004 et la somme des chiffres de la somme vaut 6.

Comme la somme des nombres et la somme des chiffres conservent le modulo 9, la somme des chiffres doit être égale à 2*2+3*3+5*5+7*7 = 6 (modulo 9). On montre facilement qu'il en existe au moins une égale à 6.

Il y a beaucoup de telles sommes, 2004 est la plus petite. En voici d'autres :
10203 : (523, 557, 773, 2777, 5573)
30201 : (73, 577, 757, 5237, 23557)
111111 : (37, 53, 557, 52727, 57737)
21012 : (5, 7, 757, 5237, 7253, 7753)

La liste est finie mais très longue. 2454 sommes en utilisants les nombres premiers < 106. Il faudrait tester les nombres premiers jusque 1014 pour avoir la liste complète en utilisant la technique que j'utilise (génération des sommes de nombres premiers avec les bons digits puis sélection, je génère 644290 sommes avec les nombres premiers < 106).

Posté par
franz
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (2/4) 27-11-15 à 17:47

gagnéComme j'ai pu le dire à l'énigme 3/4, la somme des chiffres de S est un multiple de 3 (évidemment non nul).
Je n'ai pas trouvé de solutions conduisant à 3 mais de nombreuses dont la somme des chiffres de S vaut 6. Par exemple

2004=2+3+5+7+23+73+557+577+757

Posté par
masab
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (2/4) 28-11-15 à 11:25

gagnéBonjour littleguy,

Une réponse à l'énigme 2/4 est fournie par les entiers

[23, 523, 557, 577, 757, 773]
Dans ce cas S = 3210 donc la somme des chiffres est 6.

On ne peut pas trouver mieux.
En effet vu la façon dont S est obtenu, l'entier S est congru modulo 9 à la somme des chiffres à utiliser.
Or 2*2+3*3+5*5+7*7 = 87 = 9*9+6. Par suite S est congru à 6 modulo 9.
Il en résulte que la somme des chiffres de S est aussi congru à 6 modulo 9.
La somme des chiffres de S est donc >=6 .
Merci pour cette énigme curieuse !

Posté par
manitoba
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (2/4) 29-11-15 à 19:00

gagnéBonsoir,

Avec une somme de chiffres de 6 on trouve
2004=2+3+5+7+53+73+557+577+727.
Merci pour la récré.

Posté par
castoriginal
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (2/4) 01-12-15 à 10:08

gagnéBonjour,

voici une solution parmi de très nombreuses avec 6 comme résultat.

Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d\'autre ! (2/4)

Posté par
Nofutur2
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (2/4) 04-12-15 à 05:59

gagnéBonjour
Je propose la solution suivante :
2377  5573  7573  25577  qui donnent 41100, soit un total de 6...

Posté par
littleguy
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (2/4) 18-12-15 à 15:03

100 % !
Bravo !

Posté par
sbarre
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (2/4) 18-12-15 à 16:33

Bonjour,
j'avais trouvé ca

2377
5557
757
2357
73
total 11121  
donc 6 aussi, mais pas osé le poster; j'ai surtout passé du temps sur le 3/4 avant de lire a l'instant que c'est impossible...je n'ai pas compris la démo de Le Dino (il faut que je travaille les congruences...) mais la somme ne commence pas forcément par un 2, la preuve.

Joyeux Noël et bonne année a tous et toutes et un grand merci au p'tit gars.

Posté par
LeDino
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (2/4) 18-12-15 à 18:41

gagné

Citation :
je n'ai pas compris la démo de Le Dino (il faut que je travaille les congruences...) mais la somme ne commence pas forcément par un 2, la preuve

Bonsoir,
Ma preuve intervient en trois temps.

Premier temps : on observe que la somme des chiffres de S est divisible par 3 et que par conséquent S l'est aussi.
C'est la simple "preuve par 9" apprise à l'école primaire .

Deuxième temps : puisque S est multiple de 3,  S*  (S de somme minimale) ne peut être que 3 ou 6, puisqu'on a des solutions à 6.

Troisième temps : on peut prouver qu'il n'y a pas de solution à 3 par élimination.
S*  a au moins 4 chiffres puisque le plus petit S  (trouvé précédemment) vaut 1266.
Donc S* a 4 chiffres et commence par 1, 2 ou 3.
Il n'y a pas de solution à  S*=3  commençant par 1 puisque S* > 1266.
Et les seules façons de faire  S*=3  en commençant par 2 ou 3 sont 2001, 2010, 2100 et 3000.
Aucune n'est atteignable.

Donc on a bien l'optimum  S*  qui vaut 6,  CQFD  .

Posté par
LeDino
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (2/4) 18-12-15 à 18:49

gagnéCela dit, il y a plus direct et j'aurais du le voir...
J'ai raisonné sur la somme S dont tout ce qu'on peut dire est qu'elle est multiple de 3.

Mais en raisonnant directement sur la somme de ses chiffres, on prouve directement qu'elle est congrue à 6, et donc qu'elle ne peut valoir que 6.
Ma recherche par élimination est donc superflue.

Et masab l'avait vu ...

Posté par
sbarre
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (2/4) 21-12-15 à 15:06

Merci pour ces explications

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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