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Deux ensembles supplémentaires Dans F
Bonjour/Bonsoir,
Je viens tout justement de faire un exercice qui disait :
Soient E un Kev et F un sev de E
Soient G1 et G2 deux s.e.v supplémentaires de F dans E. Montrer que G1 et G2 sont isomorphes.
Après avoir fait quelques recherches j'ai trouvé plusieurs topics qui parlait du Lemme de Zorn et d'autres concepts que je n'ai pas encore vu, mais bon cela ne m'a pas empêcher d'essayer d'en faire la démo :
Nous pouvons traduire ce qui est en haut par :
F + G1 = F + G2 = E (Le + est une somme direct )
Donc quelque soit x appartenant a E
Il existe un et un seul : xF1,xF2∈F et il existe un et un seul x1,x2∈ G1xG2 :
La première partie appartient a F donc la deuxieme aussi
et la seule intersection entre G1+G2 et F est {0}
d'où quelque soit x ∈E il existe un et un seul .... tq :
D'après ça il existe un f:G2-->G1 qui est un isomorphisme
car vu que "quelque soit x il existe" assure la surjectivité
et "l'existence unique" assure l'injectivité
Merci de m'éclairer
Bonjour,
Bel effort, mais ceci
la seule intersection entre G1+G2 et F est {0}
Exemple : F la doite x=y dans le plan, G1 la droite x=0 et G2 la droite y=0.
J'avais réfléchis de cette manière :
F ∩ G1={0}
F ∩ G2={0}
F ∩ (G1 union G2)={0}
Et comme F sev :
F ∩ Vect(G1 union G2) ={0}
F ∩ (Vect(G1) + Vect(G2))={0}
Je crois que la ligne rouge est fausse pas vrai ?
Et si au lieu de dire
je disais :
La première partie appartient a G1 donc la deuxième aussi donc
G1 = G2 + F
Si E = F c'est évident
Si E différent de F :
On a G1 ∩ F ={0} et comme G1 est différent de {0}
alors G1+G2 ??
Bonjour !
Pourquoi ne pas utiliser le fait que , dans la décomposition de E en somme directe de Fet G ,si on désigne par p la projection de E sur G , son noyau étant F et G son image , G et E/F sont isomorphes .
Tu pars d'un et tu veux attraper un
. Un moyen simple : tu décomposes
dans la somme directe
pour obtenir
avec
et
.
Que peux-tu dire de l'application ainsi définie ?
Tu peux t'aider du dessin de la situation plane que je t'ai décrite pour voir ce qui se passe.
Bonjour !
Pourquoi ne pas utiliser le fait que , dans la décomposition de E en somme directe de Fet G ,si on désigne par p la projection de E sur G , son noyau étant F et G son image , G et E/F sont isomorphes .
Belle methode merci !
L'application x-->y Est de G1--> G2 bijective car il y a l'existence unique et surjective car cela est valable pour tout les x1 appartenant à G1
Désolé :
Quelque soit x1 appartenant à F1 Il existe un et un seul x2 qui vérifie x1=xF+x2
D'où la relation x --> y est injective
Et comme chaque image possède un antécédent ( quelque soit )
Alors elle est surjective ???
Bonjour !
Pourquoi ne pas utiliser le fait que , dans la décomposition de E en somme directe de Fet G ,si on désigne par p la projection de E sur G , son noyau étant F et G son image , G et E/F sont isomorphes .
Désolé de te reciter, mais ne faudrait-il pas que les deux dimensions soient finies ?
Bonjour !
Pourquoi ne pas utiliser le fait que , dans la décomposition de E en somme directe de Fet G ,si on désigne par p la projection de E sur G , son noyau étant F et G son image , G et E/F sont isomorphes .
Désolé de te reciter, mais ne faudrait-il pas que les deux dimensions soient finies ?
Ah non désolé du dérangement, je viens tout justement de revoir la démonstration . désolé
Désolé :
Quelque soit x1 appartenant à F1 Il existe un et un seul x2 qui vérifie x1=xF+x2
D'où la relation x --> y est injective
Non, ça montre seulement que l'application
Et comme chaque image possède un antécédent ( quelque soit )
Alors elle est surjective ???
Là, désolé, mais c'est agiter les mains pour ne rien démontrer. Démontre sérieusement la surjectivité : que pour tout
Sers toi du dessin dessin que tu as fait (n'est-ce pas ?) dans le plan.
J'ai longtemps réfléchis à comment je pouvais m'aider du dessin pour le démontrer .Mais rien ne m'a traverser l'esprit :/
Merci de m'aider à le faire car si je pouvais dorénavant matérialiser le tout sous forme de dessin cela me serait d'une très grande utilité !
Sinon pour la surjectivité j'ai pas pu faire grand chose mis à part :
Soit x2 appartient a G2
x2 = xF +x1
x2=f(x1)
donc tout x2 peut s'écrire sous la forme de f(x1) avec x1appartient a G1 d'où la surjectivité
x2 = xF +x1
x2=f(x1)
donc tout x2 peut s'écrire sous la forme de f(x1) avec x1appartient a G1
C'est pas mal, mais moi j'argumenterais un peu plus pour passer de
Si tu peines à faire un dessin, tu peux jouer avec celui-là :
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