Niveau exercices

Deux inégalités

Posté par
thetapinch27 24-04-25 à 11:49

Bonjour,

Je vous propose deux inégalités inspirées de l'exercice de flight Inégalité

Comme pour l'exercice de flight, on supposera que x+y=1 et que x et y sont positifs ou nuls.

1- Montrer que :
$\sqrt{x(y+1)}+\sqrt{y(x+1)} \leq \sqrt{3-(1-4xy)}$

2- (plus difficile) Montrer que :
$\sqrt{x(y+1)}+\sqrt{y(x+1)} \leq \sqrt{3 - \frac{(x-y)^2}{1-xy}}$

Ci-dessous les plots de "membre de gauche" - "membre de droite" (en ayant remplacé y par (1-x)).

Bonne détente

Deux inégalités

Posté par re : Deux inégalités 25-04-25 à 13:05

Bonjour,

Je fais le 1er.

Les 2 membres de l'inéquation sont positifs, on peut donc élever au carré sans modifier le sens de l'inégalité.

En y remplaçant (x+y) par 1, on arrive alors à : 2.sqrt(xy(x+1)(y+1)) <= 1 + 2xy

Les 2 membres de l'inéquation sont positifs, on peut donc élever au carré sans modifier le sens de l'inégalité.

On arrive, après simplifications évidentes à : 4xy(x+y) <= 1
Donc à : 4xy <= 1
4x(1-x) <= 1
4x² - 4x + 1 >= 0
(2x-1)² >= 0 ... qui est toujours vérifié

Posté par re : Deux inégalités 27-04-25 à 09:13

Bonjour,

candide2 : Bravo pour l'inégalité 1 !
Noter que l'on peut également y arriver en utilisant la concavité de :
$\frac{1}{2}(\sqrt{A} + \sqrt{B}) \leq \sqrt{\frac{A+B}{2}}$