Bonjour
Si k=1 S'=7S

S'=S(k(a+bk)/c + k(c+ak)/b + k(b+ck)/a + 1)

Non. Tu n'as sans doute pas bien lu les définitions des points A', B' et C'

PS : Il n'est pas interdit de blanker.

Je répondais à S' = 7S .

C'est quoi a, b, c ?
On peut trouver une expression avec seulement k et s .

On obtient facilement une jolie formule en calculant l'aire des triangles via la formule des sinus : Aire(ABC) = |AB||BC|sin(ABC)/2

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En traçant les segments AA', BB' et CC' on divise le triangle A'B'C' en quatre triangles. Le triangle ABC et 3 autres triangles autour. L'aire de chacun de ces trois triangles peut être calculé facilement. Par exemple :

Aire(A'BB') = |A'B||BB'|sin(A'BB')/2 = k|AB|(1+k)|BC|sin(180-ABC)/2 = k(1+k)|AB||BC|sin(ABC)/2 = k(k+1) aire(ABC)

L'aire des deux autres triangles est la même.

L'aire totale (A'B'C') est donc (1+3k(k+1)) aire(ABC) = (1+3k(k+1)s.

Note: J'ai rajouté une symétrie centrale à mes homothéties mais remplacer k par -k dans mes formules devrait résoudre le problème

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Ce qui donne : s' = (1+3k(k-1))s

@LittleFox
Mais peut se trouver sans sinus

Bonjour,
Cela me rappelle:

Bonsoir dpi,
J'espère que mon énoncé ne sera pas taxé d'ambiguïté

J'ai effectivement répondu trop vite. Mon k n'est pas le même (voir figure). Cependant on peut adapter ma formule pour la rendre compatible avec l'énoncé.

Bonjour Sylvieg & cie .

On peut facilement conclure en remarquant que l'aire d' un triangle de hauteur donnée est proportionnel à sa base . On note 1 l'aire du triangle ABC alors :

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AA'C=BB'A=CC'B=k-1 et AA'B'=BB'C'=CC'A'=(k-1)² . Il n'y a plus qu'à ajouter tout ça : S=1+3k(k-1) .

J'ai réussi à me motiver

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ambiguïté levée en dernier par jandri

Bonsoir,
Bravo Imod pour la figure.
Tu utilises la même méthode que moi. Abordable au collège si on définit les points autrement.
Pourquoi ne pas noter s au lieu de 1 l'aire du triangle ABC ?

@derny,
Il faut se débarrasser des lettres a, b et c pour ne garder que s et k .

Mois aussi j'ai réussi à me motiver pour une figure (sans indication ) avec k = 2,6 :

@Sylvieg : Pourquoi ne pas noter s au lieu de 1 l'aire du triangle ABC ?

Un vieux réflexe d'étudiant qui ne m'a apporté que du bien : dans un problème , on commence par éliminer toutes les données inutiles . On peut ajouter ou enlever "s" à chaque aire , on ne gagne rien et on ne perd rien alors autant s'en passer

Imod

PS : A chacun ses manies

Bon, il faut savoir faire des concessions... Et passer à autre chose
Pour k < 0 pas de problème pour une autre formule.
Mais pour 0 < k < 1 ?

Finalement, pas d'autre formule, on retombe toujours sur la même

Bonsoir.
Sylvieg, ce petit problème est un cas particulier de problèmes plus généraux que je m'étais posés il y a quelques temps. Bien sûr qu'on a S' = S (1+3k(k-1)) dans ce cas. Dans le cas plus général (voir figure ci-dessous) on a pour ainsi dire pas le même k pour chacun des côtés. D'où S' = S (1+f(a+d)/ac + d(b+e)/ab + e(c+f)/bc ). Je m'étais posé les 3 problèmes suivants :
1)_d=a    e=b     f=c    Dans ce cas on trouve S' = 7 S
2)_ d=b    e=c    f=a
3)_ d=c    e=a    f=b
Pour les cas 2) et 3) je me proposais de trouver le plus petit triangle a, b, c (entiers) qui donne pour S' un multiple de S. Je vous laisse chercher car j'ai la réponse depuis une dizaine de jours seulement.

Bonjour,
Voilà d'où venait ces fameux a, b ,c
Je vais être hors circuit pendant une semaine. Je ne doute pas qu'à mon retour de jolies réponses auront été trouvées.

Sans rapport bien sûr avec : preuve

Imod

Bonjour
oui Imod c'était ça. Mais j'ai trouvé la réponse.

Bonjour
On veut ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c) = xabc avec a<b<c<(a+b)
Comme pressenti le problème est impossible.
J'ai posé c=ta et, en rattachant tout à a et après quelques calculs j'arrive à 2 conditions contradictoires qui closent la question.
D'une part x > (t+3) et d'autre part x < (t+2).