Niveau Prepa (autre)

développement asymptotique

Posté par
Ciramor 29-06-22 à 12:03

Bonjour l'île !
Je dois trouver un développement asymptotique à deux termes de la suite u définie par:

$u_0>0$ et $\forall n$ 1, $u_{n+1}=u_n+e^{-u_n}$

J'ai réussi à démontrer que le premier terme du développement est $ln (n)$ , mais je n'arrive pas à trouver le second.

Pour trouver le premier terme, j'ai posé $v_n=u_n-ln(n)$ pour n1

On remarque d'abord que la suite u est strictement positive car
$u_0>0$ et $u_{n+1}=u_{n}+e^{-u_n}\ge1>0$

Cette suite ne peut pas être négative à partir d'un certain rang $n_0>0$ , car si elle l'était, on aurait:

$v_{n_0}<0$ et $v_{n_0+1}<0$ soit $u_{n_0+1}<ln(n_0+1)$ $n_0$ et $-u_{n_0}>-ln(n_0)$ donc
$u_{n_0+1}=u_{n_0}+e^{-u_{n_0}}$ $u_{n_0}+n_0>n_0$ , ce qui est absurde.

Or on a $v_{n+1}-v_n=e^{-u_n}-ln(1+\frac{1}{n})=\frac{e^{-v_n}-1}{n}+o(\frac{1}{n})$
Ainsi, pour $n_0$ assez grand, $\exists n_1\ge n_0 / v_{n_1} \ge 0$ , donc $v_{n_1+1}\ge v_{n_1}(1-\frac{1}{n_1})+o(\frac{1}{n_1})\ge0$
donc v est positive à partir d'un certain rang $n_1$ et décroissante car $v_{n+1}-v_n=\frac{e^{-v_n}-1}{n}+o(\frac{1}{n})\le0$ pour $n\ge n_1$ , donc v converge vers une limite finie, donc $u_n\sim ln(n)$ .

Merci d'avance pour m'aider à trouver le deuxième terme.

Posté par re : développement asymptotique 29-06-22 à 12:49

salut

je ne comprends pas trop comment tu montres que $u_n \sim \ln n$ ...

pour montrer la positivité de la suite (u_n) on peut faire simplement directement :

si $f(x) = x + e^{-x}$   alors   $f'(x) = 1 - e^{-x}$

$f'(x) \ge 0 \iff ... \iff x \ge 0$

donc f est croissante sur R+ et admet donc un minimum en 0 qui est f(0) = 1

donc   $u_0 > 0 \Longrightarrow u_1 = u_0 + e^{-u_0}}\ge 1$

ensuite par récurrence  :   $u_n \ge 1 \Longrightarrow u_{n + 1} \ge 1$

on peut même montrer par récurrence que que $\ln n \le u_n$

peut-être serait-il intéressant de montrer que $u_n \le \ln (n+ 1)$ si cela est vrai ..

ensuite on pose effectivement $u_n = \ln n + v_n$

$\ln (n + 1) + v_{n + 1} = \ln n + v_n + e^{-(\ln n + v_n)} \iff v_{n + 1} = \ln \left( 1 - \dfrac 1 {n + 1} \right) + v_n + \dfrac 1 n e^{-v_n}$

à voir ...

Posté par re : développement asymptotique 29-06-22 à 13:21

Bonjour carpediem,

Merci pour ta réponse, je n'avais pas pensé à l'étude de fonction.

Pour montrer l'équivalent, j'ai montré que $\lim_{n\to +\infty} v_n=l$ où $l\in \mathbb{R}$ d'après le théorème de la limite monotone, donc $\large \lim_{n\to +\infty}\frac{v_n}{ln (n)}=0$

Or $\Large \frac{u_n}{ln (n)}=1+\frac{v_n}{ln (n)}$ , donc $\lim_{n\to +\infty} \frac{u_n}{ln (n)}=1$ donc $u_n\sim ln(n)$

Posté par re : développement asymptotique 02-07-22 à 19:22

Bonjour Ciramor et carpediem

Ciramor $\to$ tu pourras consulter ce lien Equivalence

Posté par re : développement asymptotique 02-07-22 à 23:45

Bonjour elhor_abdelali,
Merci pour le lien, je ne l'avais pas trouvé auparavant.
Je reprend les notations de perroquet, avec:
$\Large x_n=e^{u_n}$ , on a $\Large x_{n+1}=x_{n}e^{\frac{1}{x_n}}=x_n(1+\frac{1}{x_n}+\frac{1}{2}\frac{1}{x_n^2}+o(\frac{1}{x_n^2}))$
Or $\large x_n\sim n$ donc
$\large x_{n+1}-x_n=1+\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n})$ donc en sommant les équivalents:
$x_n=n+\frac{1}{2}ln(n)+o(ln(n))$ soit
$u_n=ln(n)+ln(1+\frac{1}{2n}ln(n)+o(\frac{1}{n}ln(n)))$ Or $\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{2n}ln(n)=0$ donc
$u_n=ln(n)+\frac{1}{2n}ln(n)+o(\frac{1}{n}ln(n))$
Ce qui est bien un développement asymptotique à deux termes de u.

Posté par re : développement asymptotique 02-07-22 à 23:54

Par contre carpediem,
Je ne pense pas qu'on ait l'inégalité $u_n\le ln(n+1)$ , car on a avec l'équivalent asymptotique:
$u_n-ln(n+1)=\frac{1}{2n}ln(n)-ln(1+\frac{1}{n})+o(\frac{1}{n}ln(n))=\frac{1}{n}(\frac{ln(n)}{2}-1)+o(\frac{1}{n}ln(n))$ qui est strictement positif au voisinage de l'infini.

Posté par re : développement asymptotique 02-07-22 à 23:55

Bravo ! Ciramor ! ton développement me parait correct

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