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Developpement en série de la fonction exponentielle

Posté par
jtorresm 24-01-16 à 06:57

Bonsoir!

Voici un exo extrêmement dur.

Soit x un nombre réel. On veut établir la formule

\lim_{n \to \infty}(\sum_{k=0}^{n}\dfrac{x^k}{k!})=e^x

1. Pour tout n  \in , et pour tout x \in  , on pose:

R_n(x) = \int_{0}^{x}  \dfrac{(x-t)^n}{n!} e^tdt

Démontrer par récurrence sur l'entier n, que pour tout n  \in , et pour tout x \in  

e^x = \sum_{k=0}^{n}\dfrac{x^k}{k!} + R_n(x)

Question: L'initialisation, le cas n = 0, est facile, mais pour l'hérédité, il me semble qu'il faut utiliser l'intégration par parties, mais je bloque là-dessus.

2. Il faut maitnenant établir que

\lim_{n \to \infty}R_n(x)=0

2.1: Premier cas:     x\ge 0

Grâce á une majoration de la fonction e^x sur [0; \infty[, établir l'encadrement suivant:

0 \le  R_n(x) \le \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\times e^x

Question: il me semble qu'il fqut le démontrer par récurrence sur n, et qu'il faut aussi utiliser le résultat précédent:

e^x = \sum_{k=0}^{n}\dfrac{x^k}{k!} + R_n(x)

d'où

e^x - \sum_{k=0}^{n}\dfrac{x^k}{k!} = R_n(x)

Or pour l'initialisation, n = 0, il faut démontrer que

0 \le  R_0(x) \le \dfrac{x^{0+1}}{(0+1)!}\times e^x

Autrement dit:

0 \le  R_0(x) \le x e^x

Le côté gauche est facile á démontrer.

Mais pour le côté droit, R_0(x) \le x e^x, je vois pas d'autre que faire une étude de signe en utilisant l'expression démontrée dans la partie 1.

e^x - \sum_{k=0}^{0}\dfrac{x^k}{k!} = R_0(x)

c'est à dire:

R_0(x) = e^x - 1

ce qui nous mène à:

e^x - 1 \le x e^x

et donc:

e^x - 1 -  x e^x \le 0

Donc: il faut étudier le signe de g(x) = e^x - 1 -  x e^x sur [0; +\infty[.

Maintenant avec la dérivée de cette fonction auxiliaire on peut arriver à son tableau de variation et ensuite à son tableau de signes, mais je me suis arrêté là, car je me suis demandé si ce n'est pas trop compliqué (on est à peine à l'initialisation de la récurrence).

Toute aide sera bienvenue.

Je vous laisse le reste de l'exo:

Conclure.

2.2: Deuxième cas: x <0

Adapter la methode précédente pour établir que

\lvert R_n(x) \rvert \le \dfrac{\lvert x \rvert ^{n+1}}{(n+1)!}

Conclure.


Merci en avance.

Johnny

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Developpement en série de la fonction exponentielle 24-01-16 à 09:20

Bonjour,

1. Il suffit en effet d'intégrer par parties.

Je ne traite que de l'hérédité.

On suppose que :
\forall x\in\mathbb{R}, \quad e^x = \sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k} + R_n(x)

On veut montrer que :
\forall x\in\mathbb{R}, \quad e^x = \sum_{k=0}^{n+1}\dfrac{x^k}{k} + R_{n+1}(x)

On part de l'hypothèse :
\forall x\in\mathbb{R}, \quad e^x = \sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k} + R_n(x)

\forall x\in\mathbb{R}, \quad e^x = \sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k} + \int_0^x\dfrac{(x-t)^n}{n!}e^t\, \mathrm{d}t

\forall x\in\mathbb{R}, \quad e^x = \sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k} + (-1)^n \int_0^x \dfrac{(t-x)^n}{n!} e^t \, \mathrm{d}t

On intègre par parties en intégrant \dfrac{(t-x)^n}{n!} et en dérivant e^t :
\forall x\in\mathbb{R}, \quad e^x = \sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k} + (-1)^n\left[ x \right]^x - (-1)^n \int_0^x \dfrac{(t-x)^[n+1}}{(n+1)!} e^t \, \mathrm{d}t

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Developpement en série de la fonction exponentielle 24-01-16 à 09:35

Bonjour,

Le message précédent est parti trop vite...

1. Il suffit en effet d'intégrer par parties.

Je ne traite que de l'hérédité.

On suppose que :
\forall x\in\mathbb{R}, \quad e^x = \sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k} + R_n(x)

On veut montrer que :
\forall x\in\mathbb{R}, \quad e^x = \sum_{k=0}^{n+1}\dfrac{x^k}{k} + R_{n+1}(x)

On part de l'hypothèse :
\forall x\in\mathbb{R}, \quad e^x = \sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k} + R_n(x)

\forall x\in\mathbb{R}, \quad e^x = \sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k} + \int_0^x\dfrac{(x-t)^n}{n!}e^t\, \mathrm{d}t

\forall x\in\mathbb{R}, \quad e^x = \sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k} + (-1)^n \int_0^x \dfrac{(t-x)^n}{n!} e^t \, \mathrm{d}t

On intègre par parties en intégrant \dfrac{(t-x)^n}{n!} et en dérivant e^t :
\forall x\in\mathbb{R}, \quad e^x = \sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k} + (-1)^n\left[ \dfrac{(t-x)^{n+1}}{(n+1)!} e^t \right]^x_0 - (-1)^n \int_0^x \dfrac{(t-x)^{n+1}}{(n+1)!} e^t \, \mathrm{d}t

\forall x\in\mathbb{R}, \quad e^x = \sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k} + (-1)^n \dfrac{-(-x)^{n+1}}{(n+1)!} + \int_0^x \dfrac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} e^t \, \mathrm{d}t

\forall x\in\mathbb{R}, \quad e^x = \sum_{k=0}^{n+1}\dfrac{x^k}{k} + R_{n+1}(x)

C'est ce que nous souhaitions démontrer. Fin de l'hérédité.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Developpement en série de la fonction exponentielle 24-01-16 à 09:37

2.1. Sauf erreur de ma part, il n'est pas nécessaire de procéder par récurrence. La démonstration directe tient en quelques lignes. Il suffit d'appliquer l'indice donné dans l'énoncé.

Posté par
jtorresmre : Developpement en série de la fonction exponentielle 24-01-16 à 10:01

Je vous remercie de tout mon cœur, Nicolas. Dès que j'aurai fini la partie 2.1 je la publierai pour la vérifier.

Bien à Vous

Johnny

Posté par
jtorresmre : Developpement en série de la fonction exponentielle 24-01-16 à 18:13

Bonsoir.

Vous pouvez me donner une piste pour commencer? Je ne vois pas comment procéder sans la récurrence.

Merci

Johnny

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Developpement en série de la fonction exponentielle 24-01-16 à 18:15

2.1.
R_n(x) = \int_{0}^{x} \dfrac{(x-t)^n}{n!} e^t\,\mathrm{d}t

Majore e^t sur [0;x]

Posté par
jtorresmre : Developpement en série de la fonction exponentielle 24-01-16 à 20:03

Pour cette expression, e^t  est majorée par e^x  sur [0; x]

et pour l'intégrale R_n(x)  \int_{0}^{x} \dfrac{(x-t)^n}{n!} e^t\,\mathrm{d}t, tout ce que je peux dire c'est qu'elle contiendra un terme d'exposant t^{n+1} divisé par (n+1)!, et que ce terme est majoré par \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}.

Je suis désolé mais je n'ai jamais fait des majorations de fonctions auparavant.

Johnny

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Developpement en série de la fonction exponentielle 24-01-16 à 20:34

2.1. On suppose \boxed{x \ge 0}

\forall t\in[0;x], \quad 0 \le e^t \le e^x

On multiplie chaque membre par \dfrac {(x-t)^n}{n!}, qui est positif :
\forall t\in[0;x], \quad 0 \le \dfrac {(x-t)^n}{n!}e^t \le \dfrac {(x-t)^n}{n!}e^x

On intègre entre 0 et x :
0 \le R_n(x) \le e^x\int_0^x\dfrac {(x-t)^n}{n!}\,\mathrm{d}t

Calcule le membre de droite et c'est fini.

Nicolas

Posté par
jtorresmre : Developpement en série de la fonction exponentielle 24-01-16 à 21:11

Merci!!

Johnny


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