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développement en série entière

Posté par
Mathoumathieu
18-11-22 à 23:40

Bonsoir,
L'énoncé :
Montrer que f(x) = arctan(1+x) est DSE au voisinage de 0 et donner son rayon de convergence.

il y a un exercice sur le développement en séries entières de fonction dont je ne comprends pas la réponse. Il faut DSE la fonction f(x) = arctan(1+x).

En faisant les calculs je trouve cos(5n+1) , alors que dans le corrigé il y a cos(3n+1), j'ai beau chercher je ne comprends pas comment on obtient ce résultat.

Je trouve que 1/1-i = (e^i*pi/4) / sqrt(2) ;
or après avoir DSE on a 1/(1-i)^n+1  , ce qui nous donne  (e^i*pi*(n+1)/4) / sqrt(2)^(n+1) ;
Puis on multiplie tout cela par le (-1)^n qui est égale a e^4*i*pi*n/4
Et je trouve donc e^i*pi*(5n+1)/4 et en prenant la partie réelle j'obtient du cos (5n+1)
J'ai essayé de multiplié par -i, mais comme celui-ci n'est pas a la puissance n je trouve e^i*pi*(5n-1)/4, et donc cos(5n-1)

Voici l'énoncé et le corrigé.

Merci d'avance !

développement en série entière

malou edit > ** énoncé recopié après coup **

Posté par
miguelxg
re : développement en série entière 19-11-22 à 00:00

salut

je ne suis pas sûr à 100% car il se fait tard et je suis fatigué, mais j'ai l'impression que c'est toi qui as le calcul correct

1 - i = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}} donc (1 - i)^{n+1} = \sqrt{2}e^{-i\frac{(n+1)\pi}{4}} et (-1)^n = e^{in\pi} = e^{i \frac{4n\pi}{4}}
du coup \frac{(-1)^n}{(1 - i)^{n+1}} = \frac{e^{i \frac{4n\pi}{4}}}{\sqrt{2}e^{-i\frac{(n+1)\pi}{4}}} = \frac{1}{2^{\frac{n+1}{2}}} e^{i \frac{(5n+1\pi)}{4}}

Posté par
miguelxg
re : développement en série entière 19-11-22 à 00:00

d'ailleurs il me semble que tu es censé taper le début de l'énoncé

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : développement en série entière 19-11-22 à 09:26

Bonjour ... et bienvenue,

On t'avait demandé de lire Q05 ici : A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI

Fais le en recopiant l'énoncé, et respecte désormais les règles de notre site.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q10 - Puis-je insérer des symboles mathématiques afin de faciliter la lecture de mon message ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : développement en série entière 19-11-22 à 09:27

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q27 - Comment bien écrire une formule ?

Posté par
Mathoumathieu
re : développement en série entière 19-11-22 à 11:35

Bonjour,
merci et désolé, je rectifie cela de suite.

L'énoncé :
Montrer que f(x) = arctan(1+x) est DSE au voisinage de 0 et donner son rayon de convergence.

Ma question :
J'ai compris la méthode, et je sais l'appliquer mais j'ai un problème avec le résultat trouvé dans le corrigé et celui que je trouve, et je ne comprends pas comment obtenir le bon.

Tout d'abord on dérive la fonction, puis on décompose en éléments simples, et on remarque que f'(x) = Re(\frac{-i}{x+1-i}) = Im(\frac{1}{x+1-i})

On DSE cette fraction : \frac{1}{x+1-i}, ce qui nous donne : \sum_{n=0 }^{\infty }{\frac{(-1)^{n} }{(1-i)^{n+1}}*x^{n}}

Mais on sait que : 1-i = \sqrt{2}*e^{ \frac{-i*\pi }{4}} , donc (1-i)^{n+1}= 2^{\frac{n+1}{2}}*e^{ \frac{-i*\pi*(n+1) }{4}} , de plus (-1)^{n} = e^{\frac{i4n\pi }{4}}

Finalement on a que : {\frac{(-1)^{n} }{(1-i)^{n+1}}*x^{n}} = \frac{e^{\frac{i*4n\pi }{4}*e^{\frac{i\pi (n+1)}{4}}}}{2^{\frac{(n+1)}{2}}} , soit \frac{e^{\frac{e^{i*\pi*(5n+1)}}{4}}}{2^{\frac{(n+1)}{2}}}

Et en prenant la partie réelle de cela je trouve du cos(5n+1) au numérateur, alors que dans le corrigé, on trouve :
\sum_{n=0 }^{\infty }{\frac{cos(3n+1)*\pi }{2^{\frac{(n+1)}{2}}}}

J'ai essayé de multiplié par le -i qui se trouve dans Re(\frac{-i}{x+1-i}) = Im(\frac{1}{x+1-i}) ; mais comme il n'est pas à la puissance n je trouve du cos(5n-1).

Je voudrais donc comprendre comment obtenir ce résultat.

Merci d'avance !

Posté par
Mathoumathieu
re : développement en série entière 19-11-22 à 17:36

miguelxg @ 19-11-2022 à 00:00

salut

je ne suis pas sûr à 100% car il se fait tard et je suis fatigué, mais j'ai l'impression que c'est toi qui as le calcul correct

1 - i = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}} donc (1 - i)^{n+1} = \sqrt{2}e^{-i\frac{(n+1)\pi}{4}} et (-1)^n = e^{in\pi} = e^{i \frac{4n\pi}{4}}
du coup \frac{(-1)^n}{(1 - i)^{n+1}} = \frac{e^{i \frac{4n\pi}{4}}}{\sqrt{2}e^{-i\frac{(n+1)\pi}{4}}} = \frac{1}{2^{\frac{n+1}{2}}} e^{i \frac{(5n+1\pi)}{4}}

Oui c'est ce que je trouve aussi, mais ce n'est pas le résultat du corrigé, il y a une étape qui doit m'échapper, mais je ne la vois pas...

Posté par
Rintaro
re : développement en série entière 20-11-22 à 10:10

Bonjour,

dans ton message de 11:35, tu dis

Citation :
Et en prenant la partie réelle de cela (...)


tu fais une erreur, il faut prendre la partie imaginaire (cf. la correction). Il te suffit ensuite de transformer le sinus pour obtenir le cosinus en 3n+1, il y a quelques arguments selon la parité de n à ajouter.

Bonne journée

Posté par
Mathoumathieu
re : développement en série entière 20-11-22 à 11:35

* Modération > Citation inutile effacée. *

Bonjour,
merci pour votre réponse.

En suivant ce que vous m'avez conseillé, je prends la partie imaginaire et j'utilise cette formule sin(\frac{\pi }{2}- x) = cos(x), mais la encore je tombe sur cos(5n-1).

Dois-je utiliser une autre formule ? La trigonométrie n'est pas mon point fort, désolé...

De plus on devrait obtenir le même résultat en prenant la partie réelle, étant donné qu'on a cette relation : Re(\frac{-i}{x+1-i}) = Im(\frac{1}{x+1-i}).

Merci d'avance !

Posté par
Rintaro
re : développement en série entière 20-11-22 à 14:09

On a \Re(1) = \Im(i), si je prends la partie imaginaire de i j'obtiens 1 et si j'en prends la partie réelle j'obtiens 0, ce n'est pas le même résultat (tu ne prends pas la partie réelle et imaginaire du même complexe).

On peut utiliser \sin\big( (n+5)\pi/4\big) = \sin(\pi/2 + (n+3)\pi/4), et en réalité il n'y a pas besoin d'arguments sur la parité de n (je m'étais trompé au brouillon).

Posté par
Mathoumathieu
re : développement en série entière 20-11-22 à 15:05

Merci pour la réponse.

J'ai saisis l'explication avec la partie réelle et imaginaire, merci pour ces précisions.

En suivant ce que vous avez fait, on obtient donc du : cos(\frac{(n+3)* i * \pi }{4})  si je ne me suis pas trompé, mais  on veut du cos(\frac{(3n+1)* i * \pi }{4}) ; ce qui n'est pas le cas a moins que les deux résultats soient équivalents ?

Posté par
Rintaro
re : développement en série entière 20-11-22 à 15:21

Au temps pour moi, tu as raison. Mon brouillon était donc correct, désolé, je me suis embrouillé . On peut alors utiliser

\sin \Bigg( \dfrac{(5n+1)\pi}{4} \Bigg) = \sin \Bigg( \dfrac{\pi n}{2} + \dfrac{(3n+1)\pi}{4} \Bigg)

par exemple, et utiliser les formules trigonométriques pour faire apparaître le cosinus convoité. Ensuite, on a bien besoin d'un argument sur la parité de n pour voir que notre expression se réduit bien au cosinus. Je trouve ça quand même bien compliqué, il y a peut-être plus simple en regardant

\sin \Bigg( \dfrac{(5n+1)\pi}{4} \Bigg) = \sin \Bigg( \pi n + \dfrac{(n+1)\pi}{4} \Bigg)

Je ne sais pas à vrai dire, essaye déjà la première expression, on verra pour la deuxième plus tard s'il nous reste du courage . Si d'autres intervenants ont plus simple, je suis aussi preneur.



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