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Développement limité

Posté par
Benamor1999 18-02-19 à 10:04

Bonjour , dans un exercice il m'a demandé de faire le DL A L'odre 3 au V(0) de ln(1+sinx) .
J'ai pensé à dériver ma fonction puis à utiliser la formule du DL de 1/1+t toute en remplaçant  t par sin x /2 , mais ça sera un peu long , du coup je poses la question est ce qu'il y'a une autre méthode plus courte , et merci 🙏

Posté par
Benamor1999re : Développement limité 18-02-19 à 10:07

Benamor1999

Benamor1999 @ 18-02-2019 à 10:04

Bonjour , dans un exercice il m'a demandé de faire le DL A L'odre 3 au V(0) de ln(2+sin(x)) .
J'ai pensé à dériver ma fonction puis à utiliser la formule du DL de 1/1+t toute en remplaçant  t par sin x /2 , mais ça sera un peu long , du coup je poses la question est ce qu'il y'a une autre méthode plus courte , et merci 🙏

Posté par
carpediemre : Développement limité 18-02-19 à 10:13

salut

les dl se composent donc

sin x = ... (dl à l'ordre suffisant en 0)

ln (1 + u) = ... (dl à l'ordre suffisant en 0)

puis remplacer u par le dl de sin x et simplifier ...

PS : car u = sin x --> 0 quand x --> 0 bien sur !!)

Posté par
luzakre : Développement limité 18-02-19 à 12:40

Bonjour carpediem !
\ln(2+\sin x) n'est pas de la forme \ln(1+u), \;u de limite nulle.

Il y aura donc à remplacer u par \dfrac{\sin x}2 (ou comme tu dis par la partie régulière de son développement limité).

............................
@Benamor1999 !
Les calculs sont facilités en calculant, de proche en proche, les puissances de u. Les termes négligeables devant x^3 sans sans utilité, autant ne pas les écrire.

Par exemple, puisque u(x)\underset{x \to 0}{\quad=\quad}\dfrac{x}2-\dfrac{x^3}{12}+o(x^3) tu écris :
u :\dfrac{x}2-\dfrac{x^3}{12}=x\Bigl(\dfrac12-\dfrac{x^2}{12}\Bigr) (ce n'est pas une égalité, je n'écris pas les restes)
u^2 : x^2\Bigl(\dfrac12-\dfrac{x^2}{12}\Bigr)^2 et tu "jettes" tous les termes de degré dépassant 3, il n'en restera pas beaucoup !
u^3 :u\times u^2 : \dots . Même remarque, il y en a encore moins.

Tu récapitules le tout dans \ln(1+u)\underset{x \to 0}{\quad=\quad}u-\dfrac{u^2}2+\dfrac{u^3}3+o(x^3)

Posté par
carpediemre : Développement limité 18-02-19 à 12:48

merci luzak : je n'ai pas fait attention au correctif ...

Posté par
Benamor1999re : Développement limité 18-02-19 à 12:49

Ok j'en comprends et je suis désolé en faite c comme vous avez déjà dit c ln(2+since)
Merciii infiniment pour vous 🙏

Posté par
Benamor1999re : Développement limité 18-02-19 à 12:50

Benamor1999 @ 18-02-2019 à 12:49

Ok je comprends et je suis désolé en faite c comme vous avez déjà dit c ln(2+sin x)
Merciii infiniment pour vous 🙏

Posté par
carpediemre : Développement limité 18-02-19 à 13:30

de rien

Posté par
jsvdbre : Développement limité 18-02-19 à 16:12

Bonjour

Et en trouvant le DLn en 0 de ln(2+x) ... ?

\ln(2+x) = \ln(2) - \sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^k}{k\times 2^k}x^k+o(x^n)

On veut un DL3 de \ln(2 + \sin(x)) donc on se contente de prendre :

\sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3)

\ln(2+x) = \ln(2) +\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{x^3}{24}+o(x^3)

Avec les mêmes facilités de calculs préconisés par Luzak !

Posté par
jsvdbre : Développement limité 18-02-19 à 16:13

* préconisées

Posté par
carpediemre : Développement limité 18-02-19 à 18:05

et pourquoi faire le travail à la place du posteur ?

Posté par
luzakre : Développement limité 19-02-19 à 08:08

Parce que l'expérience m'a appris que si on (ça devrait être le professeur mais ce n'est pas toujours vrai) ne leur dit pas beaucoup ne savent pas faire ces calculs : ils passent du temps à développer des puissances de sommes avec plein de termes inutiles !
Un exemple de temps en temps fait partie de ce que je considère comme mon boulot !

Posté par
carpediemre : Développement limité 19-02-19 à 09:35

je ne parlais pas de ton intervention (tu n'as pas vraiment tout fait) mais de celle de jsvdb

Posté par
jsvdbre : Développement limité 19-02-19 à 10:01

Parce qu'il ne l'aurait pas fait ...

Posté par
carpediemre : Développement limité 19-02-19 à 10:16

certes ... mais c'est son pb ... tout à a été dit ... (en fait tu aurais pu attendre aujourd'hui) ... mais bof ...

Posté par
jsvdbre : Développement limité 19-02-19 à 11:38

Certes, mais quand j'ai posté, tout avait déjà été dit ...
Donc ...
Oui, j'aurais pu le laisser faire le DL en question mais bon, les fourmis dans les doigts, ... je reconnais...


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