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Niveau maths sup
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Développement limité

Posté par
Rira
11-07-19 à 13:22

bonjours,
soit f(x)=Arcsin(x)/(1-x2)1/2
1- former une équation différentielle liant f et f'. (J'ai trouver (E): (1-x2)y'=1+xy )
2-En déduire le DL(0,n) de f ( mon idée c'est de poser f(x)=\sum_0^nakxk+o0(xn+1)
et puisque f est C on trouve f'(x)=\sum_0^nkakxk-1+o0(xn)
Après je dois remplacer f et f' dans (E) par les deux expressions trouvées.
Après des simplifications je trouve : a1=1 et a2=a0/2 et k2, ak+1=k/(k+1)ak-1
Après je bloque est ce que je dois faire une récurrence ? Qu'est ce que je dois chercher après?
Je remarque que la fonction est impair donc forcément mon DL doit être de la forme f(x)=g(x)+o0(x2n+1) avec g une fonction impair
De l'aide s'il vous plait. Merci d'avance

Posté par
Rira
re : Développement limité 11-07-19 à 13:23

* la sommation est de 0 jusqu'à n+1

Posté par
carpediem
re : Développement limité 11-07-19 à 13:34

salut

ben cela me semble raisonnable ...

effectivement f(0) = 0 donc a_{2n} = 0

ensuite la relation de récurrence te permet d'exprimer a_n en fonction de n ...

Posté par
Rira
re : Développement limité 11-07-19 à 13:57

carpediem
avec la récurrence je dois exprimer a2n+1 en fonction de n .Mais comment je vais trouver cette expression?,

Posté par
carpediem
re : Développement limité 11-07-19 à 14:00

Citation :
Après des simplifications je trouve : a1 = 1 et   k 2, ak + 1 = k/(k + 1) ak - 1


...

PS : etil est temps d'apprendre à utiliser des espaces dans les expressions mathématiques pour être lisible !!!  d'autant plus quand on ne saute pas de lignes ... ce qui est bien triste ...

Posté par
etniopal
re : Développement limité 11-07-19 à 16:11

f est C   de ]-1 , +1[ vers .
Elle a    donc  en 0  un DL à tous les ordres   fourni par   Taylor .
Il suffit donc de calculer  les Dnf(0)  et on peut utiliser l'ed  ( ainsi que Leibnitz ) .

Posté par
luzak
re : Développement limité 11-07-19 à 17:27

Ayant vu que les coefficients d'indice pair sont nuls il est plus simple d'écrire :

a_1=1,\;\forall k\in\N,\;\dfrac{a_{2k+1}}{a_{2k}}=\dfrac{2k}{2k+1}

Tu peux alors "deviner " la forme qu'aura a_{2n+1} et le vérifier par récurrence ou,
en courant le risque d'écrire des bêtises :
\dfrac{a_{2n+1}}{a_1}=\dfrac{2n}{2n+1}\,\dfrac{2n-2}{2n-1}\,\cdots\,\dfrac{2}{1}

Posté par
luzak
re : Développement limité 11-07-19 à 17:52

Une erreur  dans ma relation : lire a_1=1,\;\forall k\in\N^*,\;\dfrac{a_{2k+1}}{a_{2k-1}}=\dfrac{2k}{2k+1}

Posté par
carpediem
re : Développement limité 11-07-19 à 18:21

on peut tout à fait continuer avec l'indice k

a_1 = 1
 \\ a_3 = \dfrac 2 3 a_1
 \\ a_5 = \dfrac 4 5 a_3
 \\ ...
 \\ a_n = \dfrac {n - 1} n a_{n - 2}

on multiplie membre à membre

ona la formule générale pour n ... qu'on remplace par 2k + 1 éventuellement ... enfin faut voir ...

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