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Niveau Prepa (autre)
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Développement limité

Posté par
matheux14
20-05-22 à 21:50

Bonsoir,

Merci d'avance.

Déterminer le développement en 0 à l'ordre 3 de f(x) = \dfrac{\dfrac{x^3}{2}+ \arctan(x) -\arcsin(x) +x^6}{\dfrac{x^3}{2} + x(\cos(x) -1)}

On a : \dfrac{x^3}{2}+ \arctan(x) -\arcsin(x) +x^6 = \dfrac{x^3}{2}+x-\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)-\left(x- \dfrac{x^3}{6}+o(x^3)\right)+x^6 = \dfrac{x^3}{3}+x^6 + o(x^3)

* \dfrac{x^3}{2} + x(\cos(x) -1) = \dfrac{x^3}{2} + x(1 -\dfrac{x^2}{2} +o(x^2) -1) = o(x^3)

Donc f(x) = \dfrac{\dfrac{x^3}{3}+x^6 + o(x^3}{o(x^3)}

Posté par
carpediem
re : Développement limité 20-05-22 à 22:11

salut

avec un x^6 s'arrêter à l'ordre 3 est insuffisant ... voire même n'a pas de sens ...

Posté par
carpediem
re : Développement limité 20-05-22 à 22:12

idem au dénominateur ...

Posté par
lafol Moderateur
re : Développement limité 20-05-22 à 23:08

Bonjour

plus précisément le dl à l'ordre 3 de 0.5x^3+x^6 est 0.5x^3 + o(x^3)

(mais quand tu auras simplifié par x^3 ta fraction, l'ordre va retomber comme un soufflé ... comme dit Carpi, il faut que tu développes à un ordre bien supérieur à 3 pour qu'à la fin il reste de l'ordre 3)

Posté par
larrech
re : Développement limité 21-05-22 à 16:41

Bonjour,

Tu as fait une erreur dans le DL d'\arcsin x (voir signe du terme en x^3). Du coup le développement du numérateur commence par un terme en x^5

Posté par
matheux14
re : Développement limité 21-05-22 à 16:50

\dfrac{x^3}{2}+ \arctan(x) -\arcsin(x) +x^6 = \dfrac{x^3}{2}+x-\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)-\left(x {\red{+}} \dfrac{x^3}{6}+o(x^3)\right)+x^6 =x^6 + o(x^3)

Je comprends qu'il y a bien une erreur dans l'énoncé.

Posté par
larrech
re : Développement limité 21-05-22 à 16:59

Encore une fois (je te l'avais déjà dit), ne mets pas un o(x^3) après un x^6, ça n'a pas de sens.

Soit tu enlèves le x^6 et tu ne gardes que le o(x^3), soit tu poursuis le DL jusqu'à un ordre supérieur à 6 .

C'est ce qu'il faut faire ici et le reste sera un o(x^7) ou o(x^9), ou plus, à voir en fonction du développement du dénominateur

Posté par
larrech
re : Développement limité 21-05-22 à 17:01

Mais il n'y a pas d'erreur dans l'énoncé.

Posté par
matheux14
re : Développement limité 21-05-22 à 17:31

D'accord mais comment trouver le DL de arcsin(x) en 0.

La formule que j'ai dans mon cours et un peu difficile à appliquer :

\arcsin(x) = x+ \dfrac{x^3}{6}+ \dots + \dfrac{1 \times 3 \times \dots \times (2n-1)}{n! \times 2^n \times (2n +1)} x^{2n +1} +o(x^{2n +2})

Posté par
larrech
re : Développement limité 21-05-22 à 17:49

Si tu fais n=1, tu vas retrouver le terme en x^3

n=2 donne le terme en x^5, n=3, celui en x^7.

Lance-toi.

Posté par
lafol Moderateur
re : Développement limité 21-05-22 à 18:38

on est bien partis pour avoir des x^5 en facteur en haut et en bas : si on veut qu'il reste du x^3 après la simplification, ça veut dire qu'il faut développer au moins à l'ordre 8 le numérateur et le dénominateur, au départ, pour avoir à la fin un ordre 3, comme te le demande ton énoncé qui n'a pas d'erreur ...

Posté par
matheux14
re : Développement limité 21-05-22 à 18:41

\dfrac{x^3}{2}+ \arctan(x) -\arcsin(x) +x^6 =\dfrac{x^3}{2}+x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^7}{7}-\left(x+ \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{3}{40}x^5 + \dfrac{5}{112}x^7\right) + o(x^7) +x^6 = \dfrac{x^5}{8} - \dfrac{3}{16}x^7 + o(x^7)

* \dfrac{x^3}{2} + x(\cos(x) -1) = \dfrac{x^3}{2} + x\left(1 -\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \dfrac{x^6}{720} +o(x^6) -1 \right) =\dfrac{x^5}{24} -\dfrac{x^7}{720}+ o(x^7)

Donc f(x) = \dfrac{\dfrac{x^5}{8} - \dfrac{3}{16}x^7 + o(x^7)}{\dfrac{x^5}{24} -\dfrac{x^7}{720}+ o(x^7)}

Posté par
lafol Moderateur
re : Développement limité 21-05-22 à 18:46

remarque que tes fonctions (celle du haut et celle du bas) sont impaires et que de fait, tu as déjà l'ordre 8
divise tout le monde, en haut comme en bas, par x^5, et continue !

Posté par
carpediem
re : Développement limité 21-05-22 à 18:53

en supposant que c'est exact ... ben peut-être factoriser numérateur et dénominateur par x^5/8 ...

et te rendre compte qu'encore une fois tu n'as pas été assez loin dans le dl ... comme te l'a dit lafol

il serait bien de te rendre qu'avec une telle fonction ce n'est pas parce qu'on veut un dl à l'ordre 3 qu'on s'arrête dans tous les calculs à l'ordre 3

on pourrait même "s'amuser" à tout traiter à l'ordre 100 puis une fois le résultat final répondre à la consigne et s'arrêter à l'ordre 3 ...

enfin j'espère que tu as remarqué que les diverses fonctions apparaissant dans la fonction sont soit paires soit impaires ...

ce qui permet d'avoir une idée de l'ordre auquel il faut faire les développements ...

Posté par
larrech
re : Développement limité 21-05-22 à 19:14

Encore un mot et je laisse la place. A 18h41, que devient le x^6 au numérateur ? Il faut le garder puisque tu vas jusqu'à un ordre supérieur. Simple oubli ?

Posté par
matheux14
re : Développement limité 21-05-22 à 19:44

Oui j'ai fait un copier-coller et je l'ai oublié.

Il faut que j'ai le degré 3 au numérateur et au dénominateur c'est ça ?

Posté par
carpediem
re : Développement limité 21-05-22 à 20:39

il faut avoir ce qu'il faut avoir pour pouvoir répondre à la question !!!

Posté par
matheux14
re : Développement limité 21-05-22 à 22:27

* \dfrac{x^3}{2}+ \arctan(x) -\arcsin(x) +x^6 = \dfrac{x^5}{8}+ x^6 - \dfrac{3}{16}x^7 + \dfrac{67}{1008}x^9 +o(x^9)

* \dfrac{x^3}{2} + x(\cos(x) -1) =\dfrac{x^5}{24} - \dfrac{x^7}{720} + \dfrac{x^9}{40320} +o(x^9)

f(x) = \dfrac{\dfrac{x^5}{8}+ x^6 - \dfrac{3}{16}x^7 + \dfrac{67}{1008}x^9 +o(x^9)}{\dfrac{x^5}{24} - \dfrac{x^7}{720} + \dfrac{x^9}{40320} +o(x^9)} = \dfrac{1+ \dfrac{1}{8x} -\dfrac{3}{16}x + \dfrac{67}{1008}x^3 +o(x^3)}{\dfrac{1}{24x} -\dfrac{x}{720} +\dfrac{x^3}{40320} +o(x^3)}

Posté par
lafol Moderateur
re : Développement limité 21-05-22 à 22:33

c'est quoi ces 1/x

tu n'es pas capable de mettre les puissances de x dans l'ordre et de simplifier par x^5 ? je pense que si ! et encore une fois l'ordre 8 tu l'avais déjà ! il suffisait de remplacer o(x^7) par o(x^8) (et corriger tes étourderies de calcul)

Posté par
matheux14
re : Développement limité 21-05-22 à 22:52

Ah mais moi je simplifiais par x^6 désolé.

f(x) = \dfrac{\dfrac{1}{8}+ x - \dfrac{3}{16}x^2 + \dfrac{67}{1008}x^4 +o(x^4)}{\dfrac{1}{24} - \dfrac{x^2}{720} + \dfrac{x^4}{40320} +o(x^4)}

Posté par
lafol Moderateur
re : Développement limité 21-05-22 à 22:57

arrivé là tu sais terminer, non ? si nécessaire multiplie tout par 24 pour avoir un truc genre "numérateur fois (1 sur (1 -u))"

Posté par
lafol Moderateur
re : Développement limité 21-05-22 à 22:58

et c'est l'ordre 3 qui t'intéresse, vire ces x^4 !

Posté par
matheux14
re : Développement limité 21-05-22 à 23:14

Oui je vois.

Merci je vais écrire mon résultat ici demain

Posté par
ty59847
re : Développement limité 22-05-22 à 00:58

Je reviens sur l'écriture x^3+x^6+o(x^3)
Pourquoi cette écriture est incohérente ?
En fait c'est en gros comme si on disait : la longueur AB, c'est   1 mètre,  plus 1 micron, à quelques millimètres près.
Si on a une imprécision de quelques millimètres, alors on dit 1 mètre à quelques millimètres près, on ne parle pas d'un petit truc minuscule, de 1 micron.



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