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Développement limité
Bonjour,
Je ne comprends pas vraiment ce que signifie "au voisinage de 0", lorsqu'on dit que f admet un del en 0 voisinage de c.
On dit que f admet au voisinage de 0 un del si f(x) =a0+a1x+a2x²+... +anx^n+petit o(puissance n).
On peut donc appriximer f "au voisinage de 0" par le polynôme. Mais que signifie ce "voisinage"?.
Si je prend un fonction quelquonque f, et que je défini g tels que g est une droite quelconque passant par le point (0,f(0)).
Alors quand x est très proche de 0 (quand x tend vers 0) on a
f(x) =g(x).
Donc g(x) semble être un développement limité de f en 0 d'après la def du del. Enfin si voisinage est plus ou moins synonyme de limite... Ce qui n'est j'imagine pas la cas, et donc où est mon erreur? Comment faut il comprendre "voisinage si ce n'est pas limite ?
Car toute droite passant par f(0) en 0 n'approxime pas forcément bien f au voisinage de 0, on peut faire des dessins ou g et perpendiculaire à cf en 0 donc tels que la droite n'approxime pas du tout f autour de 0, pourtant on a bien g et f égaux quand x tend vers 0.
Voilà, mon incompréhension...
Bonjour,
"Car toute droite passant par f(0) en 0 n'approxime pas forcément bien f au voisinage de 0, on peut faire des dessins ou g et perpendiculaire à cf en 0 donc tels que la droite n'approxime pas du tout f autour de 0, pourtant on a bien g et f égaux quand x tend vers 0. "
Si tu veux approcher f au voisinage de 0 par l'équation d'une droite ... ce n'est pas n'importe quelle droite.
C'est la tangente en 0 à la courbe représentant f(x)
C'est donc le DL en 0 de f(x) limité à 2 termes (a0 + a1*x)
Exemple f(x) = e^x + 1
f'(x) = e^x
f(0) = 2 et f'(0) = 1
a(0) = 2 et a1 = 1
on a alors f(x) = 2 + x + petit o(puis ...).
C'est cette droite là , d'équation y = x + 2 qui approxime f au voisinage de 0, et pas une autre droite.
On peut par exemple estimer f(0,02) :
Vraie valeur : f(0;02) = e^0,02 + 1 = 2,00200200...
et l'approximation affine en x = 0,02 est y = 2 + 0,02 = 2,002
Soit donc "proche" de la vraie valeur.
Mais que signifie au voisinage ?
Pour n'importe quelle droite g passant par (0,f(0)), on a f(x) =g(x) quand x tend vers 0, pourtant comme vous le dites, il n'y a que la tangente comme droite qui approxime f au voisinage de 0.
Quand on dit que f(x) =P(x) + petit o au voisinage de 0, cela ne veut donc pas seulement dire que f(x) et P(x) sont égaux quand tend vers 0.
Dire que f(x) et P(x) + petit o sont égaux au voisinage de 0 a donc une autre signification que f(x) et P(x) sont égaux quand tend vers 0.
Quelle est alors cette signification ?
J'aimerais avoir une meilleure compréhension de "voisinage"...
Comment traduire que deux fonctions sont égales au "voisinage d'un point"...
Bonjour,
Je pense que l'incompréhension réside dans le o(xn).
Pour vous, qu'est ce que cela signifie ?
salut
J'aimerais avoir une meilleure compréhension de "voisinage"...
Comment traduire que deux fonctions sont égales au "voisinage d'un point"...
un voisinage d'un point est tout ensemble contenant ce point
deux fonctions f et g sont égales au voisinage du point a :
prenons a = 0 et supposons que f(0) = 0 (on peut toujours par translation)
toute fonction g telle que : il existe un voisinage E de 0 (en général E est un intervalle ouvert (contenant 0 évidemment)) telle que pour tout x dans E |f(x) - g(x)| "est petit" est une approximation de f ...
du point de vue mathématiques :
a/ que signifie exactement "être petit"
b/ il semble évident que lorsqu'on particularise 0 on veut bien sûr g(0) = f(0)
c/ par définition la "meilleure" approximation de f par les fonctions puissances est ce qu'on appelle le dl de f en 0
d/ par définition la "meilleure" approximation de f par les fonctions trigonométriques (et leurs puissances) est ce qu'on appelle la série de Fourier de f
...
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