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Développement limité

Posté par
aua 21-12-25 à 14:58

Bonjour, j'espère que vous allez bien
J'ai besoin d'aide pour comprendre comment marche le développement limité d'un produit et avoir quelques astuces. Merci d'avance!
Voici un exemple.
Developpement limité de exp(\frac{exp x-1}{x}arcsinx)
On a :
arcsinx=x+\frac{x^{3}}{6}+o(x^{4})
exp x=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+\frac{x^{5}}{120}+o(x^{5})
\frac{exp x-1}{x}=1+\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{6}+\frac{x^{3}}{24}+\frac{x^{4}}{120}+o(x^{4})
\frac{exp x-1}{x} arcsin x=x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{8}+o(x^{4})

Qu'en pensez vous jusque là ?
Cela me parait juste mais si on passe à l'exponentielle les calculs me paraissent complexes.

Posté par
Camélia Correcteurre : Développement limité 21-12-25 à 15:40

Bonjour

Première remarque: Il faut décider à quel ordre tu veux ton développement. Ici tu as écrit celui de \arcsin à l'ordre 4. Il est inutile (et risqué) de mener les autres plus loin!
Deuxième remarque: Pour un produit on multiplie les DL comme des polynômes, mais on n'écrit surtout pas les termes de degré supérieur à l'ordre choisi.

Posté par
GBZMre : Développement limité 21-12-25 à 16:18

Bonjour,
Si tu veux le d.l. en 0 de \dfrac{\exp(x)-1}{x} \arcsin(x) à l'ordre 4,  tu as bien eu raison de partir du d.l. de \exp(x) à l'ordre 5.  Sinon, tu t'es trompée dans le coefficient de x^3.
Tu veux ensuite le d.l. de \exp\left(\dfrac{\exp(x)-1}{x} \arcsin(x)\right) ?

Posté par
auare : Développement limité 21-12-25 à 23:52

aua @ 21-12-2025 à 14:58


\frac{exp x-1}{x} arcsin x=x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{8}+o(x^{4})

Oui, maintenant je dois calculer le DL en 0 à l'ordre 4, comment puis je procèder ?
je sais que eu=1+u+u2/2+u3/6+u4/120+o(u4)
Si je dois développer les calculs risquent d'être long non ?

Posté par
GBZMre : Développement limité 22-12-25 à 08:03

Bon tu as corrigé le coefficient fautif.
Ne reste pas à répéter que les calculs risquent d'être longs. Fais-les avec ordre et méthode,  en négligeant tous les termes d'ordre plus grands que 4.

Posté par
auare : Développement limité 23-12-25 à 11:21

u(x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{8}+o(x^4)
e^{u}=1+u+\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{6}+\frac{u^4}{24}+o(u^4)
u^{2}(x)=({x+\frac{x^2}{2}}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{8}+o(x^4))^2 =(x+\frac{x^2}{2})^2+2(x+\frac{x^2}{2})(\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{8})+o(x^4)
Il suffira du coup je faire les multiplication et de ne garder que les termes inférieurs ou égales à 4
Pour avoir u3(x)vu qu'on a déjà u2(x)on multiplie par u(x) et on garde les termes inférieurs ou égales à 4
De même pour u4(x)

Posté par
auare : Développement limité 23-12-25 à 13:35

u2(x)=x2+x3+11x4/12+o(x4)
u3(x)=x3+3x4/2+o(x4)
u4(x)=x4+o(x4)
eu(x)=x+3x2/2+7x3/3+41x4/12+o(x4)

Posté par
fph67re : Développement limité 23-12-25 à 17:30

Bonjour,

OK pour tes expressions "rabotées" de u2, u3  et u4.
Par contre, pour la suite, ça ne colle pas.  On a
eu=1+u+u2/2+u3/6+u4/24+...
Donc cette partie est à revoir.

Posté par
auare : Développement limité 26-12-25 à 12:17

Oui, en effet j'ai oubliée les division dans mes expressions.
C'est \exp\left(\dfrac{\exp(x)-1}{x} \arcsin(x)\right)=1+x+x2+x3+21x4/24+o(x4) ?

Posté par
fph67re : Développement limité 26-12-25 à 15:03

Bonjour,

C'est ça, mais 21/24 se simplifie en 7/8.
Bonne continuation.


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