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Développement limité de l'exponentielle

Posté par
Azer44170 02-10-22 à 08:53

Bonjour,
dans un cours de mécanique quantique on peut lire :

On peut développer l'exponentielle comme :
\exp \left( \frac {\sqrt{km}}{h}x^2\right)=\sum _p \frac 1 {p!}\left(\frac{\sqrt{km}}{h}\right)^px^{2p}.
En le mettant sous la forme \sum _{n\; pair}b_nx^n (on remplace 2p par n, on a alors, pour n assez grand :
\frac{b_{n+2}}{b_n}=\frac 1 {p+1}\frac {\sqrt {km}}{h}

Est-ce que quelqu'un comprend l'écriture de \frac{b_{n+2}}{b_n}=\frac 1 {p+1}\frac {\sqrt {km}}{h} ?

Bien cordialement.

Posté par
carpediemre : Développement limité de l'exponentielle 02-10-22 à 09:13

salut

que vaut bn ? bn + 2 ? leur quotient ?

Posté par
malou Webmasterre : Développement limité de l'exponentielle 02-10-22 à 09:19

bonjour à tous les deux

Azer44170, tu postais l'année passée en licence non mathématique, tu postes là en master, et ton profil indique "terminale"
Quel est ton véritable profil ? à modifier je pense au niveau du site
Merci.

Posté par
Azer44170re : Développement limité de l'exponentielle 02-10-22 à 12:11

J'aurais tendance à écrire :
b_n=\frac {2}{n!}\left(\frac{\sqrt{km}}{h} \right)^{n/2}
b_{n+2}=\frac {2}{(n+2)!}}\left(\frac{\sqrt{km}}{h} \right)^{(n+2)/2}
b_{n+2}/b_n=\frac {n!}{(n+2)!}}\left(\frac{\sqrt{km}}{h} \right) = \frac {(2p)!}{(2p+2)!}}\left(\frac{\sqrt{km}}{h} \right)

Et après je ne sais jamais ce qu'on a le droit de faire avec les factoriels (factoriser par 2 ici ?...).

Posté par
Azer44170re : Développement limité de l'exponentielle 02-10-22 à 12:12

Bonjour,
oui je suis en master. Je vais mettre cela à jour.
Merci.

Posté par
carpediemre : Développement limité de l'exponentielle 02-10-22 à 12:30

non si n = 2p est pair alors b_n = \dfrac 1 {p!} \left( \dfrac {\sqrt {km}} h \right)^p

Posté par
Azer44170re : Développement limité de l'exponentielle 02-10-22 à 13:58

J'ai du mal avec les sommes

Alors je dirais :
b_{n+2}=\frac {1}{(p+2)!}}\left(\frac{\sqrt{km}}{h} \right)^{p+2}
b_{n+2}/b_n=\frac {p!}{(p+2)!}}\left(\frac{\sqrt{km}}{h} \right)^2

J'imagine que ce n'est pas encore ça... désolé je n'ai pas l'habitude de ces choses là en physique.

Posté par
carpediemre : Développement limité de l'exponentielle 02-10-22 à 14:09

si n = 2p alors n + 2 = ... ?

Posté par
Azer44170re : Développement limité de l'exponentielle 02-10-22 à 14:58

n+2=2(p+1)
b_{n+2}=\frac {1}{(p+1)!}}\left(\frac{\sqrt{km}}{h} \right)^{p+1}

Et du coup on retrouve bien le quotient.
Merci beaucoup !

Posté par
carpediemre : Développement limité de l'exponentielle 02-10-22 à 15:06

de rien


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