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Développement limité de l'intégrale pour une suite de fonctions

Posté par
misterl
11-06-22 à 09:27

Bonjour à tous,
Soit f une fonction continue [0,1] . On pose In = \int_0^{1} f(t^n) dt pour n .

Déterminer la limite de In quand n .
Ce que j'ai fait. J'ai montré l'existence de l'intégrale d'abord puisque la fonction est continue sur [0,1{ et j'ai utilisé le théorème de convergence dominée sur [0,1[ pour trouver que In converge vers  \int_0^{1} f(0) dt soit f(0)

On suppose de plus dans cette question que u  \frac{f(u)}{u} est intégrable sur ]0,1] et on pose K = \int_0^{1} \frac{f(u)}{u} du . Déterminer la limite de nIn quand n + en fonction de K.
Ici j'ai utilisé le changement de variables u = tn pour montrer que :
nIn =  \int_0^{1} nf(t^n) dt =  \int_0^{1} \frac{f(u)}{u^{1-\frac{1}{n}}}du. Et ensuite en appliquant à nouveau le théorème de convergence dominée à   \int_0^{1} \frac{f(u)}{u^{1-\frac{1}{n}}}du, j'ai montré que celle ci tendait vers \int_0^{1} \frac{f(u)}{u} du soit K.

Et j'en suis à : En déduire que  \int_0^{1} \frac{dt}{1+t^n} = 1 - \frac{ln(2)}{n} + o(\frac{1}{n}) quand n +.

Donc je sais qu'il faut commencer par poser comme fonction f(t) = \frac{1}{1+t} . Ce qui me permet d'obtenir  n\int_0^{1} \frac{dt}{1+t^n}  \int_0^{1}\frac{1}{t(1+t)} dt
Et je n'arrive pas à aller plus loin. Aucune de mes pistes n'aboutit. Puisqu'il y a limite, on peut dire qu'il y a égalité en l'infini moyennant un o(1) (il me semble) mais  \int_0^{1}\frac{1}{t(1+t)} dt   = [-ln(1+\frac{1}{t})]_0^{1} mais qui diverge ? A ce point là ça me semble bizarre. Mais j'ai quand même tenté de remplacer 0 par 1/n mais sans plus de succès.

Posté par
larrech
re : Développement limité de l'intégrale pour une suite de fonct 11-06-22 à 10:10

Bonjour,

A la dernière question, tu oublies que le DL commence par 1. Du coup ta fonction f n'est pas la bonne.

Posté par
larrech
re : Développement limité de l'intégrale pour une suite de fonct 11-06-22 à 10:27

En d'autres termes c'est   \int_0^{1} \dfrac{dt}{1+t^n} -1   qui doit être équivalent à  -\dfrac{ln(2)}{n} quand n\to +\infty...

Posté par
misterl
re : Développement limité de l'intégrale pour une suite de fonct 11-06-22 à 13:51

Merci beaucoup larrech !

Posté par
larrech
re : Développement limité de l'intégrale pour une suite de fonct 11-06-22 à 13:55

Avec plaisir. Tu as trouvé la bonne fonction alors...

Posté par
AyoubAnnacik
re : Développement limité de l'intégrale pour une suite de fonct 11-06-22 à 20:59

Lorsque n tend vers +inf on a In tend vers f(0) et donc nIn tend vers n.f(0) qui tend à son tour vers +inf

Posté par
larrech
re : Développement limité de l'intégrale pour une suite de fonct 12-06-22 à 10:36

@AyoubAnnacik Tu oublies que les hypothèses sur f ne sont pas les mêmes entre les 2 questions.

Posté par
AyoubAnnacik
re : Développement limité de l'intégrale pour une suite de fonct 12-06-22 à 12:05

nIn tend vers sign(f(0)) x l'infini

Posté par
Rintaro
re : Développement limité de l'intégrale pour une suite de fonct 12-06-22 à 14:48

Bonjour,

AyoubAnnacik @ 11-06-2022 à 20:59

Lorsque n tend vers +inf on a In tend vers f(0) et donc nIn tend vers n.f(0) qui tend à son tour vers +inf


ce n'est pas rigoureux même si on en comprend le sens. Que penses-tu de la fonction f constante égale à 0 pour ton raisonnement ?

Posté par
AyoubAnnacik
re : Développement limité de l'intégrale pour une suite de fonct 12-06-22 à 16:12

Même si f est la fct nulle, le In dans ce cas va être égale à une cte; integrale de 0 est une cte; donc nIn tend vers (sign(cte) x l'infini)

Posté par
Rintaro
re : Développement limité de l'intégrale pour une suite de fonct 12-06-22 à 18:45

Et quelle est cette constante dans ce cas ... ?
C'est ce que je dis, ça manque de rigueur. Revoir les formes indéterminées, c'est pour cela qu'on reste général ici avec des hypothèses qui permettent d'appliquer des échanges de limite et d'intégrale pour ne pas se confronter à ça.

Posté par
AyoubAnnacik
re : Développement limité de l'intégrale pour une suite de fonct 12-06-22 à 19:19

J'utilise toujours la règle de l'Hopital pour contourner les problemes des formes indéterminées :p



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