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Niveau maths sup
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Developpement limité de ln(1+exp(x))

Posté par
Baptiste31685
16-05-22 à 09:19

Bonjour,

Je dois trouver le developpement limité de ln(1+exp(x))

Pour ce faire, jai modifié l'expression en :

ln(2 ( 1 + (exp(x)-1)/2) = ln(2) + ln(1 + (exp(x) - 1) / 2)

Et on a donc : ln(2) + ln(1 + u) avec u tends vers 0

Mais en faisant le developpement limité en utilisant la formule de de ln(1+x), je trouve :

ln(2) + (x/2) - (x2/8)

Or la correction indique que c'est :

ln(2) + (x/2) + (x2/8)

Et je n'arrive pas à trouver d'ou viens l'erreur.

Merci de votre aide.

Bonne journée,

Baptiste

Posté par
etniopal
re : Developpement limité de ln(1+exp(x)) 16-05-22 à 09:29

  Quand t tend vers 0 on a :
         ln(1 + t) = t - t²/2 + t²o(1)

Posté par
Baptiste31685
re : Developpement limité de ln(1+exp(x)) 16-05-22 à 15:08

Oui, alors ça devrai être :

ln(2) + (x/2) - (x2/8) non?

Pourquoi est ce qu'on met un + à la place du  - ?

Posté par
etniopal
re : Developpement limité de ln(1+exp(x)) 16-05-22 à 15:58

ln(1 + exp(x)) = ln(2  + x + x²/2 + x² o(1)  )
= ln(2) + ln(1 + x/2 +  x²/4 + x² o(1))
= ln(2) +  [x/2 +  x²/4]  -  [x²/4]/2 +  x² o(1)
= = ln(2) + x/2 +  x²/8   +  x² o(1)


Posté par
lafol Moderateur
re : Developpement limité de ln(1+exp(x)) 16-05-22 à 22:41

Bonjour
il semble que tu aies confondu u et x/2, non ?

Posté par
etniopal
re : Developpement limité de ln(1+exp(x)) 17-05-22 à 15:20

   @Baptiste31685
    Une autre façon de voir que ce qu'indique la correction est juste est de  trouver le développement limité  à un  ordre  > 2 (3  par exemple)  de f : x     ln(1+exp(x)) .

Posté par
Baptiste31685
re : Developpement limité de ln(1+exp(x)) 22-05-22 à 15:13

Ah oui oui d'accord j'ai compris merci à tous



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