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Niveau école ingénieur
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Développement limité de ln(sinx/x)

Posté par
ansmix
30-11-21 à 10:53

Bonjour,

je bloque sur une quesiton depuis un moment : Calculer les 2 premiers termes non nuls des DL limités des fonctions suivantes au voisinage de 0:

DL de ln(sinx/x) = ln(1+sinx/x-1) avec sinx/x-1 = X

qu est ce que j'ai fait pour l'instant:

ln(1+X) -> X - X²/2 + o(X²)

sinx/x-1 -> -x²/6+x^4/120 + o(x^5)

et la je suis bloqué.

je sais quel résultat je dois avoir = -x²/6 + x^4/180 + o(x^5) mais je n'arrive pas a le trouver.

merci

Posté par
carpediem
re : Développement limité de ln(sinx/x) 30-11-21 à 10:58

salut

ben remplace simplement X  dans le dl de ln (1 + X) par le dl de sin x /x - 1 ...

Posté par
ansmix
re : Développement limité de ln(sinx/x) 30-11-21 à 11:00

je l'ai fait mais je trouve un autre résultat...

Posté par
GBZM
re : Développement limité de ln(sinx/x) 30-11-21 à 11:03

Bonjour,

Qu'est-ce qui te bloque ? Tu as tous les éléments pour conclure. Tu as le dl de X à l'ordre 5 au voisinage de 0, et le dl de \ln(1+X) à l'ordre 2 au voisinage de 0.

Il y a une erreur de signe dans le résultat que tu indiques.

Posté par
ansmix
re : Développement limité de ln(sinx/x) 30-11-21 à 11:23

GBZM @ 30-11-2021 à 11:03

Bonjour,

Qu'est-ce qui te bloque ? Tu as tous les éléments pour conclure. Tu as le dl de X à l'ordre 5 au voisinage de 0, et le dl de \ln(1+X) à l'ordre 2 au voisinage de 0.

Il y a une erreur de signe dans le résultat que tu indiques.


ah oui c est - x²/6 - x^4/180 , merci

je ne comprends pas pourquoi on doit utiliser 2 termes de dl de sinx/X-1

car si je remplace par un seul terme de X dans ln(1+X)  :  ( -x²/6 ) - ((-x²/6 )² /2 -> -x²/6 - x^4/72 , les 2 premiers termes sont non nuls donc ca doit être bon,

mais je sais que je dois aussi  utiliser le 2ème terme de dl de sinx/X donc:
si je remplace  ca donne  : ( -x²/6 + x^4/120 ) - (-x²/6 + x^4/120 )²/2 -> - x²/6 - x^4/180
mais je vois pas pourquoi

Posté par
GBZM
re : Développement limité de ln(sinx/x) 30-11-21 à 11:34

Parce que tu oublies les o en cours de route. Grosse erreur  !!!

Si tu écris X= -\dfrac{x^2}{6} +o(x^3), alors tu as

\ln(1+X)=  -\dfrac{x^2}{6} +o(x^3) - \dfrac12(-\dfrac{x^2}{6} +o(x^3)) ^2 + o(X^2)
et ton o(x^3) mange tout ce qui suit puisque ce qui suit est en x^4 ou négligeable devant x^4. À la fin tu te retrouves avec \ln(1+X)=  -\dfrac{x^2}{6} +o(x^3) et tu as un seul terme non nul dans la partie régulière de ton dl.

Si tu n'es pas à l'aise avec le maniement des o, écris plutôt x^n\epsilon(x) au lieu de o(x^n), avec \epsilon(x) tendant vers 0 quand x tend vers 0, et numérote les différents { \epsilon} que tu introduis.



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