Niveau Maths sup

Développement limité de racine(1+2x)

Posté par MiDU (invité) 04-10-05 à 21:47

Bon voila, j'ai fait ca pour le developpement limité de racine(1+2x) d'ordre 4 serait il possible qu'on me confirme cela afin que je vérifie si j'ai bien compris mes lecons?
Merci beaucoup.

$\sqrt{1+2x}\\ \sqrt{1+u} = 1 + (1/2)*u - (1/4)*(1/2)*u^2 + (3/8)*(1/6)*u^3 -(15/16)*(1/24)*u^4 + o(u^4)\\ lorsque x->0, 2x(=u) -> 0 \\=> \sqrt{1+2x} = 1 + (1/2)*(2x) - (1/8)*(2x)^2 + (3/48)*(2x)^3 - (15/384)*(2x)^4 + o_{x\to 0}(2x^4) \\= 1 + x - (1/2)*x^2 +(1/2)*x^3 - (5/8)*x^4 + o(x^4)$

Cordialement,

MiDU

Posté par MiDU (invité)désolé 04-10-05 à 21:50

excusez moi, je ne trouve pas la fonction d'édition du message, je viens aussi de voir qu'il ne fallait pas sauter de lignes ... je reposte le calcul
$\\ \sqrt{1+2x}$

$\sqrt{1+u} = 1 + (1/2)*u - (1/4)*(1/2)*u^2 + (3/8)*(1/6)*u^3 -(15/16)*(1/24)*u^4 + o(u^4)$

lorsque x->0, 2x(=u) -> 0

$=> \sqrt{1+2x} = 1 + (1/2)*(2x) - (1/8)*(2x)^2 + (3/48)*(2x)^3 - (15/384)*(2x)^4 + o_{x\to 0}(2x^4)$

$= 1 + x - (1/2)*x^2 +(1/2)*x^3 - (5/8)*x^4 + o(x^4) \\$

Cordialement,

MiDU

Posté par MiDU (invité)re : Développement limité de racine(1+2x) 04-10-05 à 21:57

bah, je ne trouve toujours pas la fonction éditer, en fait j'ai un doute sur la formule utilisé, pouvez vous me confirmer que:

$\forall \alpha \in \mathbb[R]^* , (1+x)^{\alpha} = \sum_{i=0}^n (\prod_{j=0}^{i-1} (\alpha - j))(x^i/i!) + o(x^n)$

Posté par MiDU (invité)re : Développement limité de racine(1+2x) 04-10-05 à 21:58

bah, je ne trouve toujours pas la fonction éditer, en fait j'ai un doute sur la formule utilisé, pouvez vous me confirmer que:

$\forall \alpha \in \mathbb[R] ^* , (1+x)^{\alpha} = \sum_{i=0}^n (\prod_{j=0}^{i-1} (\alpha - j))(x^i/i!) + o(x^n)$

Posté par MiDU (invité)re : Développement limité de racine(1+2x) 04-10-05 à 21:59

bah, je ne trouve toujours pas la fonction éditer, en fait j'ai un doute sur la formule utilisé, pouvez vous me confirmer que:

$\forall \alpha \in \mathbb{R} ^* , (1+x)^{\alpha} = \sum_{i=0}^n (\prod_{j=0}^{i-1} (\alpha - j))(x^i/i!) + o(x^n)$

désolé pour le tripple post, j'essaie de faire quelquechose de bien présenté en latex et j'ai fait 2 erreurs de suite, si vous pouviez supprimer les deux messages précédents ...

Cordialement, MiDU

ps: si je trouve pas éditer, je viens de trouver aperçu ^^

Posté par re : Développement limité de racine(1+2x) 04-10-05 à 22:02

$\displaystyle\forall%20\alpha%20\in%20\mathbb{R}^*%20,%20(1+x)^{\alpha}%20=%20\Bigsum_{i=0}^n%20\[\Bigprod_{j=0}^{i-1}%20$\alpha%20-%20j$\]\frac{x^i}{\ i!\ }%20+%20o(x^n)$

Est-ce bien cela ?

Posté par re : Développement limité de racine(1+2x) 05-10-05 à 08:14

La dérivée première de (1+2x)^(1/2) est (1+2x)^(-1/2) et vaut 1 pour x=0
la dérivée seconde -(1+2x)^(-3/2) et vaut -1 pour x=0
la dérivée troisième 3(1+2x)^(-5/2) et vaut 3 pour x=0
et la dérivée quatrième -15(1+2x)^(-7/2) et vaut -15 pour x=0
Donc le développement cherché s'écrit
1+x-x^2/2+x^3/2-5x^4/8+o(x^4)

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