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Développement limité de sh(sinx) au voisinage de 0
Bonsoir,
Je rencontre une difficulté sur ce DL, je dois l'effectuer à l'ordre 7 pour pouvoir donner un équivalent en 0 de f(x)=sh(sinx)-sin(shx)
Voici mon raisonnement :
sh(sin(x)) = sh(x-x^3/6+o(x^3))
= (x-x^3/6)+(1/6)*[(x-x^3/6)^3]+o(x^7)
= x-(x^5/12)+(x^7/72)+o(x^7)
Mais ce n'est pas le bon résultat, Maple me donne : x-(x^5/15)+(x^7/90)+o(x^7)
Où est mon erreur ?
De plus, si je développe le sinus jusqu'a l'ordre 7 des le départ, je ne trouve toujours pas le bon résultat.
Merci pour votre aide.
sh(sin(x)) = sh(x-(x^3)/6+(x^5)/120+o(x^5))
= (x-(x^3)/6+(x^5)/120) +(1/6)*[(x-(x^3)/6+o(x^3)]^3 +(1/120)[x+o(x)]^5 +o(x^7)
= (x-(x^3)/6+(x^5)/120) +(1/6)*[(x^3)-(x^5)/2)] +(1/120)[x^5] +o(x^7)
= x+(x^5)/120-(x^5)/12+(x^5)/120+o(x^7)
= x-(x^5)/15+o(x^7)
Bonjour,
Merci beaucoup pour votre réponse, j'ai compris mon erreur en lisant votre calcul, j'ai refait le calcul et trouvé le bon résultat. Il manque dans votre calcul les termes en x^7.
Calcul final :
sh(sin(x)) = sh(x-(x^3)/3!+(x^5)/5!-(x^7)/7!+o(x^7))
sh(sin(x)) = (x-(x^3)/3!+(x^5)/5!-(x^7)/7!) + (1/6)*[(x-(x^3)/3!+(x^5)/5!+o(x^5)]^3 + (1/120)*[x-(x^3)/3!+o(x^3)]^5 + (1/7!)*[x+o(x^7)] + o(x^7)
Cela se simplifie bien en : x-(x^5)/15+(x^7)/90+o(x^7)
De même on trouve : sin(sh(x)) = x-(x^5)/15-(x^7)/90+o(x^7)
Par conséquent : f(x)=sh(sinx)-sin(shx) eq(0) (x^7)/45
Merci, à bientôt sur le forum.
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