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développement limité en + l'infini

Posté par draluom (invité) 22-06-06 à 12:16

Bonjour à tous,
j'ai un petit problème dans un exercice et j'éspère que vous pourrez m'aider.

énoncé :

On considère la fonction
f(x) = \sqrt{4$\frac{(x-1)^3}{x-3}}

Donner le développement limité à l'ordre 2 de la fonction \frac{f(x)}{x} au voisinage de +

Voilà mon problème


Ca fait un petit moment que je cherche et je ne trouve pas. J'ai essayer de me servir de la définition qui dit f admet un développement limité au voisinage de + ssi g(t)=f(1/t) admet un développement limité en t=0.
En effet, pour avoir le développement limité de f en +, j'ai chercher f(1/x) (que j'ai appelé g(x)) mais je ne trouve toujours pas:
j'ai trouvé, g(x) = \sqrt{4$\frac{(1-x)^3}{x^2(1-3x)}}


Si quelqu'un voit une erreur (ou plusieurs ) ou s'il pense savoir comment faire, je suis à son écoute.
Draluom

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : développement limité en + l'infini 22-06-06 à 12:43

Bonjour,

Et qu'est-ce qui t'empêche de faire un développement limité de g au voisinage de 0 ?

Nicolas

Posté par
JJa
re : développement limité en + l'infini 22-06-06 à 12:48

Pour x>1/3 et t=1/x :
f(x)/x=racine(((t-1)^3)/(t-3)) que l'on développe en série des puissances de t.
Pour x<0 : f(x)/x = - ( l'expression précédente).

Posté par
Tigweg Correcteur
re : développement limité en + l'infini 22-06-06 à 13:50

Salut,

si c'est un DL de f(x)/x en +infini que tu cherches, il s'agit d'examiner xf(1/x)=xg(x) en 0.Donc le x² du bas part.Pense ensuite à prendre la partie entière de la fraction rationnelle obtenue sous la racine, et factorise ce qu'il faut sous la racine pour te retrouver avec du(1+v(x) avec v(x)->0 pour x->0.

Fais un DL de ce que tu obtiens en 0, tu obtiendras un DL e +infini de ce que tu cherches en remplaçant dans ta formule x par 1/x

Tigweg

Posté par draluom (invité)re : développement limité en + l'infini 22-06-06 à 14:53

j'ai trouvé un résultat :
f(x)/x=1-3x²+x²(x)

je sais pas si c'est ça mais en tout cas merci beaucoup pour votre aide

Draluom

Posté par
Tigweg Correcteur
re : développement limité en + l'infini 22-06-06 à 14:58

Je t'en prie
Par contre tu as dû faire une erreur de calcul, f(x)/x est equivalent à x en +infini, ce qui n'est pas le cas de 1-3x²...

Posté par
Tigweg Correcteur
re : développement limité en + l'infini 22-06-06 à 14:59

je veux dire equivalent à 1, pas à x.
en fait peut-être as-tu simplement oublié de remplacer à la fin tes x par des 1/x, dans ce cas ton résultat est possible

Posté par neo (invité)re : développement limité en + l'infini 22-06-06 à 15:14

salut,

Je trouve :   \fbox{4$\frac{f(x)}{x}=1+\frac{3}{2x^2}+o(x^2)}

Sauf erreur
Neo

Posté par
Tigweg Correcteur
re : développement limité en + l'infini 22-06-06 à 15:20

Tu es sûr que ce n'est pas o(1/x²), neo?

Posté par neo (invité)re : développement limité en + l'infini 22-06-06 à 15:22

oups

Posté par neo (invité)re : développement limité en + l'infini 22-06-06 à 15:22

je crois que je n'ai jamais écris un post sans une seule étourderie

Posté par neo (invité)re : développement limité en + l'infini 22-06-06 à 15:35

\fbox{4$\frac{f(x)}{x}=1+\frac{3}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2})}

Posté par
Tigweg Correcteur
re : développement limité en + l'infini 22-06-06 à 15:37

C'est assez rare de mon côté également, si ça peut te rassurer, neo

Posté par neo (invité)re : développement limité en + l'infini 22-06-06 à 15:46



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