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développements limités
Bonjour,
J'ai des exercices à faire pendant l'été et j'ai un petit problème.
Je cherche le développement limité de sin²x * sh^3(x) à l'ordre 8.
Je connais les développements limités de sin x et sh x mais je ne vois pas comment les passer au carré et au cube.Pour sh x, je développe jusqu'à l'ordre 7. Je me retrouve avec quatre termes mais je bloque quand je dois passer le tout au cube. Cela me fait un groupe de quatre termes à passer au cube et je ne vois pas comment faire.
Je vous remercie d'avance.
bonjour cyrion
sin²(x) = x²-x^4/3 + 2x^6/45 - x^8/315 + O(x^9)
sh^3(x) = x^3 + x^5/2 +13x^7/120 + O(x^9)
à toi
excuse mais je ne vois pas coùmment tu as fait pour développer au carré et au cube à partie des développememnts limités de sh et sin.
Peux-tu me l'expliquer avec plus de détails ?
Merci
tu connais le DL de sin(x) ?
tu le prends à l'ordre 9 et t'en prends le carré en te limitant à l'ordre 9
( si je dis des bétises, ne pas hésiter à corriger /D )
pour sin x le dl est x-x^3/3! +x^5/5! + x^7/7!
Mais je ne vois pas pour le passer au carré comment faire
pour le dl de sh x c'est x +x^3/3! +x^5/5! +x^7/7!
et j'ai le même problème quand je dois passer au cube.
tant que je suis dans mes problèmes de développements limités : comment peut(on développer sin(cosx) à) l'ordre 2 en pi/3 ?
J'ai posé x=Pi/3+t
et ensuite j'ai développé le cos(Pi/3 + t)
mais je ne vois pas quoi faire après
Une petite idée ?
j'ai aussi essayé en utilisant la formule du cosinus en posant t = tan x/2 mais je n'arrive pas à quelque chose. Alors si quelqu'un a une idée ...
Bonjour
On peut faire un développement par substitution. On développe le cosinus, puis on rentre l'expression trouvée dans le sinus et on recommence!
Ici, comme on ne demande que l'ordre 2, j'utiliserai plutôt la formule de Taylor. En posant f(x)=sin(cos x)
on a
et le calcul des dérivées successives n'est pas trop compliqué.
Bonjour
Utiliser tout simplement des fonctions simples
sin²(x)=(1-cos(2x))/2
et
sh^3(x)=(sh(3x)-3sh(x))/4
Merci. je continue dans mes problèmes de développements limités. Je dois développer en 0 à l'ordre 4 ln(arctan(1+x))
je me suis d'abord occupée de arctan(1+x) que j'ai dérivé deux fois et j'ai obtenu un développement limité. Le problème est qu'après je me retrouve avec quelque chose de la forme ln(-3*(1+u)) avec u qui tend vers 0. Mais, je ne vois pas quoi faire de ce -3 alors j'ai probablement du me tromper. Donc voilà si quelque'un pouvait m'aider ...
Merci d'avance
tout bien réfléchi peut être que mon développement limité de arctan(1+x) est faux mais je ne vois pas pourquoi mais ce qui pourrait expliquer mon problème pour la suite. J'ai dérivé deux fois cette fonctions et j'ai fait son développement limité puis j'ai intégré deux fois.
puis, j'aurais mis pi/4 en facteur pour faire apparaitre : 1 + X
enfin, ln(1+X) = X - X²/2 + X^3/3 - X^4/4 + O(x^4)
tu dois donc avoir ln(pi/4) comme valeur constante pour ton DL
A vérifier
( ici, la méthode des f', f"... est relativement rapide 
)
oula je n'ai pas du tout ce développement limité pour arctan (1+x) c'est pour ça que je dois me tromper. Déjà, je n'ai nulle part un Pi/4 donc il y a un problème. Je ne vois pas du tout comment obtenir le développement limité que tu as écrit précédemment.
Pour la suite, je voulais savoir si X était une fonction ou c'est juste un x ? (pour moi ce serait une fonction qui tend vers 0)
Si je me base sur ton développement limité, je me retrouve avec un ln( Pi/4(1+X)) et donc j'ai encore un Pi/4 qui m'embête car je connais le développement limité de ln(1+X) mais pas celui de ln(constante*(1+X))
par contre, je ne vois pas comment obtenir le développement limité de arctan (1+x). Esy-ce que je pourrais avoir un indice ? (parce que j'ai essayé en dérivant deux fois puis en intégrant mais je n'obtiens pas de Pi/4 et je suis bien loin de l'expression qu'on me propose)
En intégrant, fais bien attention au constantes.
Par contre, en dérivant une seule fois, ça suffit, il me semble.
Tu tombera normalement sur le résultat de mikayaou, que je salue au passage ! 
(voir son message de 10h41).
En tous cas, je trouve la même chose.
Kaiser
La dérivée que j'obtiens est 1/(1+(1+x)²). Mais ça doit être après que je me trompe dans le développement limité. Je cherche un développement de la forme 1/1+u avec u qui tend vers 0 en 0 et c'est là que je bloque.
Merci.
Autre question concernant les développements limités
J'ai deux autres développements limités qui me posent problème
cos(ln(ch x)^3) à l'ordre 13 en 0
et (1+arctan x)^(x/sin²x) à l'ordre 2 en 0
Pour le premier, j'ai essayé de passer sous la forme exponentielle mais ça ne m'avance pas dans les calculs.
Quant au deuxième j'ai passé le tout en exponentielle de sorte que je me retrouve avec un exponetielle et un ln mais je bloque après donc je ne sais pas si c'est le bon début.
Dans ce genre de calcul de DL, il faut vraiment y aller doucement en décortiquant tout.
Pour le premier, il n'y pas d'exponentielle. Sinon, j'ai bien lu ... ordre 13 ?!
Kaiser
comme on a un ln il faut être sous la forme ln(1+U) mais je ne vois pas trop comment obtenir cette forme à partir du ch x
oui c'est bien ça.
Donc je m'occupe d'abord du ch que je développe. Ensuite, je développe la puissance puis le ln et enfin je m'occupe du cosinus si je ne me trompe pas.
Par contre, pour le deuxième, je ne sais pas si le choix de passer en exponentielle est judicieux mais au moins je peux développer le ln(1+arctanx) mais je suis bloqué après.
rectificatif pour le premier c'est ((ln(ch x))^3 et non seulement le ch x qui est au cube et du coup, je suis bloqué. Le développement du ch x me donne 1+ .... donc ensuite je peux le développer avec le ln(1+ ....) et après je passe au cube ?
donc ensuite je peux le développer avec le ln(1+ ....) et après je passe au cube ?
oui. Bref, ensuite, ce n'est que du calcul bourrin (vu que l'on va jusqu'à l'ordre 13).
Par contre, pour le deuxième, je ne sais pas si le choix de passer en exponentielle est judicieux mais au moins je peux développer le ln(1+arctanx) mais je suis bloqué après.
oui, il faut bien passer par l'exponentielle.
Avant tout, commence par calculer un développement en 1/x de l'exposant.
Kaiser
Je ne vois pas trop pour le développement en 1/x. Je pose t=1/x ?
non, oublie ce que j'ai dit. Passe d'abord par l'exponentielle et effectue le développement de chaque facteur se trouvant dans l'exponentielle.
Kaiser
j'ai développé le ln(1+arctan x)
donc il me reste le x/sin²x à développer et pour développer le 1/sin²x, j'essaie de passer sous la forme 1/(1-u). J'ai donc remplacé le sin²x par 1-cos²x mais je me retrouve avec 1/(1-cos²x) et cos²x ne tend pas vers 0 donc je me retrouve bloqué.
Bref, dans l'exponentielle tu as :
on peut remarquer que le numérateur et le dénominateur ont un DL qui commence par un terme d'ordre 2 donc au final, pour obtenir un DL à l'ordre 2, il faut les développer à l'ordre 4.
Pour ton message de 16h27 :
n'utilise pas ce DL tout de suite. commence par développer le sinus : come dit précédemment, tu obtiendra un DL factorisable par x². Ce ne sera qu'après que tu pourras utiliser le DL de 1/(1-u).
Kaiser
sinon une petite astuce :
pour éviter d'avoir à élever le DL du sinus au carré, tu peux utiliser la formule de trigo
.
Kaiser
oui kaiser, j'avais donné ça aussi comme astuce en haut pour les premières limites
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