Bonsoir

Le développement limité est une technique qui permet d'approcher une fonction non-polynômiale par un polynôme. Donc ça n'a aucun (ou très peu) d'intérêt de calculer le DL d'une fonction polynômiale

1) Simplement en montrant qu'elle est dérivable n fois en 0 : c'est le théorème de Taylor

2) Le DL de 1+x^2 à l'ordre 2, c'est 1+x^2. Il n'y a pas de reste puisque tu as choisi une fonction polynômiale, donc elle sera toujours égale à son DL à l'ordre n (où n est son degré). Tu peux rajouter o(x^2) après (et non pas o(x^3)) mais ça n'a aucun intérêt ici puisque le reste est nul

3) o(x^3) désigne une quantité indéfinie qui converge vers 0 "strictement plus vite" que x^3. Quand on calcule le DL d'une fonction non polynomiale à l'ordre 3, on obtient un polynôme de degré 3 qui n'est pas égal à la fonction, donc il y a un reste (la différence entre cette fonction et le polynôme). Ce reste est une quantité inconnue a priori qui converge vers 0 plus vite que x^3

J'ai pas bien répondu à ta question 3). 1/(o(x^3)) c'est simplement l'inverse d'une quantité qui converge plus vite que x^3. Puisque x^4 converge plus vite que x^3, alors on peut dire x^4=o(x^3), et par conséquent 1/(x^4) = 1/(o(x^3))

D'accord, je comprend mieux, merci !

Cependant, pour la 1) comment faire si la fonction n'est pas dérivable n fois en 0 ? Peut-on faire autrement qu'avec le théorème de Taylor ?

Sauf erreur, c'est impossible : si une fonction admet un DL d'ordre n en un point, alors elle est dérivable n fois en ce point

Mais comment fait-on avec une fonction du type : ? Elle n'est pas dérivable en 0

On peut faire le DL ailleurs, en 1 par exemple

Ou encore mieux, translater la fonction avant de calculer son DL en 0, c'est mieux, car sinon on se retrouve avec un polynôme en x-1

Si tu cherches développements limités usuels sur Google tu ne trouveras jamais celui de ln en 0 puisque c'est impossible, mais tu trouveras celui de ln(1+x) en 0, ce qui est équivalent à faire le DL de ln en 1

salut

ce n'est pas un dl mais plutôt un da (développement asymptotique en 0)

(dl)

donc

donc

où h(x) --> 0 quand x --> 0 donc dl de

et on obtient bien un développement de la fonction initiale ...

Petit aparté pour bien comprendre :

La motivation du polynôme de Taylor, c'est de créer un polynôme qui ait les mêmes nombres dérivés jusqu'à l'ordre n qu'une fonction donnée en un point donné. C'est donc un polynôme qui ressemble beaucoup à la fonction en ce point. Si elle n'est pas dérivable, c'est impossible de le construire

Cette définition induit un aspect local du polynôme de Taylor, mais on voit par la suite que certaines fonctions sont si régulières, qu'en prenant leur polynôme de Taylor en 0 (où ailleurs) et en faisant monter l'ordre à l'infini, on converge point par point vers la fonction d'origine sur tout son domaine de définition
On parlera alors de Série de Taylor pour désigner la série de focntions d'indice n, où n est l'ordre du polynôme