Bonjour, c'est sûr que de remplacer b par a-2 dans la seconde, de développer et simplifier nous fait tomber sur une équation de degré 4 qui n'est pas évidente à factoriser (cela dit on trouve une solution évidente par tâtonnement et on finit par y arriver).

Sinon, on peut essayer des valeurs, la plus évidente est a=5 et b=3 et miracle, on s'aperçoit que ça marche pour la seconde équation.
Et on a donc trouvé une solution !

Est-ce que cela suffit de trouver une solution en tatonnant ?

Bonjour,

* d'une équation polynomiale de n'importe quel degré à coefficients dans Z bien sûr
(divisibilité dans autre chose que Z, bof)

Donc cela veut dire que a et b divise 2882 ?
Mais pourtant 3 et 5 ne divise pas 2882
Je suis un peu perdu..
On ne peut pas utiliser la notion de nombre premier ?

mais non voyons, je parle de l'équation de degré 4 en la seule inconnue a obtenue en remplaçant b par a-2 dans a^5 - b^5 = 2882 comme le suggérait Glapion

En remplaçant b par a-2b je développe et j'obtiens
10a^4-40a^3+80a^2-80a+32
Mais je ne vois pas la suite

* a-2

Je crois avoir compris,  cela veut dire que comme a est solution de l'équation, a divise 2882-32 ?  

Parce qu'en mettant toutes les constantes d'un même côté on peut factoriser par a  ?

heu non il y a une erreur sur le terme constant

ça donne 10a⁴-40a³+80a²-80a-2850 = 0

Après ? et bien il faut trouver des solutions particulières par tâtonnement
(on trouve a = 5 et a = -3) et on met (a+3)(a-5) en facteur.
c'est assez pénible.

oui (mais on peut déja commencer par simplifier par 2 !!)

Bonjour,
Je n'ai pas vérifié l'équation de degré 4.
Si 10a⁴ - 40a³ + 80a² - 80a = -32 alors a divise 32 .

Remarque : L'équation se simplifie par 2.

Donc a est solution de l'équation :
5a^4-20a^3+40a^2-40a=1425?

On peut même simplifier encore par 5 ?

a^5-(a-2)^5 me donne 10*a^4 - 40*a^3 + 80*a^2 - 80*a + 32 était bien OK.
(Xcas)

et
10*a^4 - 40*a^3 + 80*a^2 - 80*a + 32 = 2882
10*a^4 - 40*a^3 + 80*a^2 - 80*a - 2850 = 0
la simplification par10 est ici évidente
a^4 - 4a^3 + 8a^2 - 8a - 285 = 0

a entier est donc un diviseur de 285 = 3×5×19
(oui ça se prouve en mettant a en facteur)

on commence donc par essayer a = ±1, a = ± 3, a= ±5 etc

285 =3 *5*19 et la décomposition en facteurs premiers ? Et de la j'en déduis ded valeurs de a possibles et je trouve b par la suite ?

J'ai cherché tous les valeurs possibles de à, il y en a 16 en tout. J'ai ensuite remplacé pour chaque valeur de à pour trouver b et j'ai vérifié pour chacune des valeurs. Les deux seules qui fonctionnent sont les couples (a, b)  = (5,3) et (-3,-5).

tout à fait.

et en nombres entiers naturels (dans ) ceci prouve qu'il n'y a qu'une seule solution

nota :
le passage dans est intéressant parce que une fois qu'on a trouvé a = -3 et a = 5,
(6 essais seulement avec ±1) on peut dès à présent factoriser par (a+3)(a-5)
ce qui reste est du second degré et on ne tâtonne plus rien pour résoudre une équation du second degré

Merci beaucoup pour votre aide