Bonsoir cher Anonyme

- Question 1 -
Il suffit d'appliquer la définition !
y = f'(a)(x - a) + f(a)

avec f(x) = 1/x
et f'(x) = -1/x²

- Question 2 -
Calcule les coordonnées des points d'intersection entre cette tangente
et les axes de coordonnées.
Ensuite t u pourras montrer que M est le milieu du segment [AB].


- Question 3 -
M est le milieu du segment [AB]. AOB est un triangle rectangle en O.
Donc : MO = MA = MB.

Tu dois donc tracer le cercle de centre M et de rayon OM. Ce cercle
coupe l'axe des coordonnées en A et B.
La droite (AB) est la tangente en M à l'hyperbole H.

Voilà voilà, bon courage ...

Equation de la tangente
y=f '(a)(x-a)+f(a)

C'est l'équation générale d'une tangente à la courbe de la fonction
f au point d'abscisse a.

Ici, f(x)=1/x
f(a)=1/a

f '(x)=-1/x²
f '(a)=-1/a²

y=(-1/a²)*(x-a)+1/a

La tangente coupe l'axe des abscisse:
donc y=0
0=(-1/a²)*(x-a)+1/a
-1/a=(-1/a²)*(x-a)
a=x-a
x=2a

A(2a;0)

La tangente coupe l'axe des ordonnées:
x=0
y=(-1/a²)*(-a)+1/a
y=1/a+1/a=2/a

B(0;2/a)

M milieu du segment [AB]?
cherchons les coordonnées du milieu de [AB] et vérifions si elles vérifient
l'équation de la tangente et celle de H.

((2a+0)/2;(2/a+0)/2)
=(a;1/a) qui vérifient l'équation de H

y=(-1/a²)*(a-a)+1/a
y=1/a
Les coordonnées du milieu vérifient donc l'équation de la tangente
et celle de la courbe.

Pour trouver géométriquement la tangente au point d'abscisse a. Tu
prends un compas ou une règle et tu cherches à faire de ce point
le milieu d'un segment coupant l axe des abscisses et des ordonnées.