Niveau autre

Devoir Congruences

Posté par
Pouchees 09-10-13 à 19:08

Bonjour à tous, je n'arrive pas à un exercice sur les congruences.

Voici l'énoncé :

Démontrer que si un couple (x;y) est solution de l'équation 7x² - 4y² = 1 alors 7x² congru à 1 [4]

Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par re : Devoir Congruences 09-10-13 à 19:24

bonjour

c'est trivial

7x²-4y²=1 donc 7x²=4y²+1 donc 7x²=1 (4)
---------voila

maintenant le plus:
-------------------
donc 3x²=1 (4) donc 3*3x²=3 (4)
               donc x²=3 (4)
x 0 1 2 3   (4)
x²0 1 0 1   (4)
donc x² n'est jamais congrue à 3 modulo 4
donc x n'existe pas donc ton équation 7x²-4y²=1 n'a pas de solutions dans Z²

autrement dit: l'hyperbole 7x²-4y²=1 ne passe par aucun point dont les coordonnées sont entières.

Posté par re : Devoir Congruences 09-10-13 à 19:34

Bonjour

rapidement mais je n'ai pas fait l'exo (donc sous reserve de la force de l'action)
alors si $7x^2 \equiv 1(mod \ 4)$
cela signifie qu'il existe k est un entier naturel tel que $7x^2 = 4k+1$
vous pouvez remplacer $7x^2$ par $4k+1$ dans l'equation $7x^2 -4y^2=1$
puis écrire les deux racines $y_1$ et $y_2$ de l'équation
$-4y^2 + 4k+1=1$
donc commencer l'exo en écrivant les racines de $-4y^2 + 4k=0$
ainsi fait alors y sera definit par une inconnue k
puis ecrire les deux racines $x_{11}$ et $x_{21}$
de l'équation $7x^2 -4y_1^2=1$
puis ecrire les deux racines $x_{12}$ et $x_{22}$
de l'équation $7x^2 -4y_2^2=1$
là encore ces racines seront alors definies par une seule inconnue k qui doit être un entier naturel pour la demonstration