Je ne veux pas detailler mes calculs, mais je trouve que le maximum
est attein pour x = r , soit AB/2 ...
Enfin je developpe, c'est peut etre bon (quelqu'un confirme
ou infirme? )

Aire disque = pi*r^2 .
Ici , aire totale =  (pi*r^2)/2
     Aire Cercle AM =   (pi*(x/2)^2)/2  , car x= diametre, donc x/2
= rayon.  on divise par 2 car on n'a ici que le demi cercle.
  
   Aire-cercle BM = (pi*((2r-x)/2)^2)/2 = (pi*(2r-x)^2)/8.
Ici le diametre vaut 2r - x , donc le rayon vaut cette valeur divisée
par 2.
  Aire entre les deux , vaut l'aire totale moins la somme de
ces deux aires ...
  Tu fais l'application, tu dois tomber sur quelque chose du
type :
  (pi*(2r-x)*x)/4 ,  La derivée (tu connais deja les derivées? ) est:

pi(r-x)/8 , qui est positive pour r-x > 0 , et  r > x. Pour r=x ,
elle est nulle, il y a donc un extremum. Du fait qu'elle soit
positive avant, la fonction correspondante est croissante , jusqu'a
un certain point, ce qui est l'extremum local (ca ne peut pas
etre un minumum puisqu'elle etait croissante avant) , donc c'est
un max, pour x=r .
  
  Voila ... mais j'ai le vague souvenir d'avoir deja fait
cet exo en controle, et je crois pas que le resultat soit ca ...
peut etre que je l'avais mal fait ... ou l'ais je peut
etre mal fait tout de suite ... a voir ...

Gho