Bonjour à tous, je rentre en classe préparatoire scientifique à la rentrée et je dois terminer un devoir de mathématiques, or je bloque sur l'un des problèmes qui nous est proposé, je vous remercie d'avance de l'attention que vous porterez à ce devoir.

On pose, pour n1, Un= 1-(1/3)+(1/5)+...+((-1)^n)/(2n+1).
On se propose d'établir que (Un) converge vers /4.

A)
1-) Montrer que, pour tout réel t:
(1-t²+t^4+...+((-1)^n)*t^(2n))-1/(1+t²)=((-1)^n)*(t^(2n+2))/(1+t²)

Pour cette question, j'ai montré que (1-t²+t^4+...+((-1)^n)*t^(2n))était une somme des n+1 termes d'une suite géométrique de 1er terme (-t²)^0=1 et de raison (-t²).
En appliquant donc la formure pour calculer la somme, j 'aboutit à un résultat de (1+t^(2n+2))/(1+t²)
Ainsi (1-t²+t^4+...+((-1)^n)*t^(2n))=(1+t^(2n+2))/(1+t²)
Et je trouve donc: (1-t²+t^4+...+((-1)^n)*t^(2n))-1/(1+t²)= t^(2n+2)/(1+t²).
Ce résultat marche uniquement lorsque n est pair, malgré tout mes efforts je ne parviens pas à trouver mon erreur.

2-)En déduire que Un-01dt/(1+t²)=((-1)^n)*01t^(2n+2)/(1+t²)dt

Toutes mes recherches pour cette question n'ont pas aboutit et j'estime inutile de vous les soumettre.
En partant du membre de droite, j'arrive à me rapprocher du résultat en utilisant la question 1), cependant je n'arrive pas à faire sortir le Un. Merci de votre aide.

3)Montrer que, pour tout réel t de [0,1], on a :
t^(2n+2)/(1+t²)t^(2n+2)
En déduire que │Un-01dt/(1+t²)│1/(2n+3)

Pour la première partie de la question, j'ai simplement dit que lorsque t[0,1], 1+t²1
Ainsi, t^(2n+2) étant divisé par un nombre supérieur ou égal à 1, t^(2n+2)/(1+t²)t^(2n+2).
Pour la 2ème partie de la question, je tombe sur le même problème qu'à la question 2).

Merci d'avance pour votre aide ou vos conseils,
Cordialement.