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devoir de maths specialité matrice
Exercice
Évolution d'un système de microcrédit
Une économiste américaine, Gwendolyn Alexander Tedeschi, a étudié le mécanisme du microcrédit
dans une population d'emprunteurs. Elle a défini un premier modèle simple où les individus peuvent
être dans deux états : bénéficiaire d'un prêt (B) ou demandeur d'un prêt (D).
Elle suppose que :
tVOCÏOÏGJDJBJSFRVJJOWFTUJUMBSHFOUFNQSVOUÏEBOTVOFNJDSPFOUSFQSJTFSFNCPVSTFSBTPOFNQSVOU
avec une probabilité 1−aet ne le pourra pas avec une probabilité a.Quand il ne peut pas rembourser son emprunt, il redevient demandeur (D) durant la période suivante, sinon il reste bénéficiaire ;
tVOEFNBOEFVSBMBQSPCBCJMJUÏbd'obtenir un prêt, il devient alors bénéficiaire (B) la période suivante.
La probabilité du demandeur de ne pas obtenir son prêt est donc 1 - b, il reste alors demandeur D.
Dans ce modèle, la seule sanction en cas de non remboursement est la perte du droit automatique à un
nouveau prêt, droit qui, au contraire, est garanti au bénéficiaire lorsqu'il rembourse son prêt.
L'objectif est d'étudier l'effet de cette incitation (la reconduction automatique du prêt) sur le taux de
remboursement et la répartition entre demandeurs et bénéficiaires au sein de la population.On a donc un système dynamique à deux états {} BD; dont on cherche à étudier l'évolution à long
terme. L'évolution de ce système est modélisée par le graphe probabiliste suivant :
S
B
D
BD
aa
bb =
−
−
1
1
.
On note +
P
n
le vecteur ligne ppnn1− ()où p
n
est le pourcentage de bénéficiaires et donc
1−p
n
est le pourcentage de demandeurs à la n-ième période.
On a donc :
+
P
n 1
=
+
P
n
S.
Partie I Étude d'un exemple a = 25 % et b = 50 %.
On suppose ici que la probabilité de réussite des bénéficiaires est 1=075 −a , et que la probabilité
d'obtenir un prêt pour le demandeur est de b=0 50 , .
Étude expérimentale
On suppose que P
1
=0,3 0,7 ().
a)Donner S.
b)À l'aide de la calculatrice, calculer PPP P 234 10 ,, et .
c)Qu'observez-vous? Est-ce que la suite () P
n
semble converger ? Quelle semble être la distribution
limite P
*
?
d)À l'aide de la calculatrice, calculer SS S S 51020 50 ,, et.
e)Qu'observez-vous?
Étude théorique
a)Montrer que pour tout n≥1,PPS n
n
=
−
1
1
.
b)Déterminer le vecteur ligne stochastique Pxx *
=1− ()stable, c'est-à-dire telle que PPS **=.
c)Montrer que pour tout n≥1, SN R n
n
=
1
4
+
où
NetR =
2
3
1
3
2
3
1
3
=
1
3
1
3
2
3
2
3
−
−
.
d)En déduire que () P
n converge et que lim .
n
n
P
→+∞
=
2
3
1
3
Avec ce modèle, quelle que soit la répartition au départ, on tend vers environ 67 % de bénéficiaires et
33 % de demandeurs, soit un taux de remboursement d'environ 67 %.
Partie II Cas général : a, b ∈]0 ; 1[.
On a vu que lorsque aet bsont dans ]0 ; 1[, quelle que soit la répartition au départ, la suite P
n
converge vers un état P
*
stationnaire :
lim
n
n
PP Pab
ba
→+∞ +
() ==1
.
**avec
Montrer que la proportion de bénéficiaires et donc le taux de remboursement est d'autant plus
important que le rapport
a
b
est petit.
Une stratégie peut alors être de n'accorder des prêts que lorsque le projet à financer a de bonnes
chances de réussir (c'est-à-dire apetit) et de rejeter une plus grande proportion de demandes
(c'est-à-dire bgrand).
Faire les calculs avec a=5% et b=85% .
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