bonjour et bonne annee
j'ai un devoir de spe a faire pour vendredi et ca serait gentil si vous pouviez m'aider
exercice 1
Le but de l'exercice est de prouver qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4k+3.
1.Donner 5 nombres premiers de la forme 4k+3.
2.Montrer qu'un nombre premier autre que 2 est de la forme 4k+1 ou de la forme 4k+3(k appartient à N).
3.Supposons qu'il existe un nombre fini p₁,p₂,...p_n de nombres premiers de la forme 4k+3.
On pose alors N=4*p₁*p₂*…*p_n-1.Justifier que N est impair et que N>2.
Montrer qu'aucun des nombres p_i(i appartient(1,2,…,n))ne divise n.
4.Soit N=q₁q₂q₃…q_k la décomposition en facteurs premiers de N.
Montrer que tous les nombres q_j(j appartient(1,2,…,k))sont de la forme 4k+1,en déduire que N est de la forme 4k+1.Conclure.

J'ai fait le 1.j pens qu'il faut faire un tableau de congruence modulo 2 pour le 2.je suis bloqué au 3 et 4.

exercice 2
Le numéro INSEE d'une personne est composé de 15 chiffres :les 13 premiers forment un entier N identifiant la personne, les deux derniers forment une clé K permettant de détecter certaines erreurs commises lors de la saisie d'un numéro.
La clé est ainsi calculée :K=97-r où r est le reste de N dans la division par 97.
Monsieur Durand possède le numéro INSEE N=1700654207128
1.Déterminer la clé K associée(indication : on pourra écrire N sous la forme A*10⁶+B, et utiliser une calculatrice).
2.Pour certaines démarches administratives, on doit taper son numéro INSEE et sa clé sur un clavier d'ordinateur.
Le programme qui contrôle la saisie calcule alors la clé associée au numéro saisi et la compare à la clé saisie.
Hélas Monsieur Durand commet souvent des erreurs de saisie. Indiquer si l'erreur est détectée lorsque :
a.Monsieur Durand saisit 1700954207128,suivi de la bonne clé.
b.Monsieur Durand saisit 1700564207128,suivi de la bonne clé.
c.Monsieur Durand saisit 1700654207419,suivi de la bonne clé.
3.Supposons que Monsieur Durand ait fait une erreur sur un seul chiffre de N et ait saisi correctement sa clé.
a.Soit N' l'entier saisi et K' la clé associée. On suppose N'>Montrer que N-N' est de la forme a*10^p où a est un entier de 1 à 9 et p un entier de 0 à 12.
b.En déduire que N-N' n'est pas divisible par 97,puis que K différent de K' :l'erreur est donc détectée.
4.Supposons que Monsieur Durand ait permuté deux chiffres consécutifs de N et ait saisi correctement sa clé.
Montrer que l'erreur st détectée.
(ces deux erreurs : erreur sur un chiffre, permutation de deux chiffres consécutifs sont les plus commises).
5.Si on utilisait 35 au lieu de 97, une erreur sur un seul chiffre serait-elle toujours détectée ? Donner un exemple.
J'ai fait le 1 mais dirctement en divisant le numéro INSEE (je n'ai pas trouvé N sous la forme A*10⁶+B).J'ai fait le 2.Le 3a me semble logique mais je ne sais pas comment le démontrer.J pnse qu'au 5 on a 97 car c'est le plus grand nombre premier inférieur à 100.

Merci d'avance à tous ceux qui vont réfléchir sur ces exercices.