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Devoir de vacances, limites à gogo

Posté par
Jau
12-08-08 à 11:12

Bonjour, j'ai un devoir de vacances pour ma rentrée en terminale, 20 questions d'analyse sur les limites. Genre QCM avec justification. Sur les 20 questions, 5 me posent problème, ça fait deux semaines que je planche dessus et j'aurais besoin d'un coup de pouce. Si vous pouviez me le donner ça serait pas de refus Et ne vous laissez pas décourager par la longueur du message svp ^^



Pour chaque proposition, donner la bonne réponse en la justifiant.

1) Soit f une fonction et (Cf) se courbe représentative dans un repère du plan. Sachant que (Cf) admet comme asymptote en +infini la droite (D) d'équation y = 1 - 2x, on a :

a- lim f(x) lorsque x tend vers +infini = +infini
b- lim f(x) lorsque x tend vers +infini = - infini
c- lim f(x) lorsque x tend vers +infini = - 2
d- On ne peut pas savoir à priori la limite de f(x) lorsque x tend vers +infini

Je crois que je ne comprends pas très bien la question. Si ça se trouve je me complique pour rien. Mon intuition me dit que c'est - infini puisque le coefficient directeur de (D) est négatif, mais ça me semble un peu insuffisant comme justification.

2) Soit la fonction f définie par f(x) = 20x + 1 + (x - 1)/x et (Cf) sa courbe représentative dans un repère du plan.

a- (Cf) admet, en +infini, pour asymptote (D) : y = 20x + 1
b- (Cf) admet, en +infini, pour asymptote (D) : y = 20x
c- (Cf) admet, en +infini, pour asymptote (D) : y = 20x + 2
d- (Cf) n'admet pas d'asymptote en +infini.

Là j'aurais besoin d'une réponse claire et d'une méthode parce que j'ai raisonné à l'envers. Je suis parti de la réponse c (sans être sûr que c'était la bonne) et j'ai essayé de démontrer que c'est une asymptote oblique en prouvant par le calcul que : lim [f(x) - (20x + 2)] lorsque x tend vers +infini = 0

3) La limite de [(x² + 1)/x - sin(x)] lorsque x tend vers +infini :

a- est égale à +infini
b- est égale à - infini
c- est égale à 1
d- n'existe pas.

Je suis parti du principe que, quelque soit x, sin(x) varie entre -1 et 1, donc que c'est une valeur négligeable à côté du (x² + 1)/x. J'ai donc mis que c'était la réponse a (règle du membre de plus haut degré puis simplification). Est-ce correct ?

4) La limite de [(cos(x) + 2) / (x + 3)] lorsque x tend vers +infini :

a- est égale à +infini
b- est égale à 0
c- est égale à 2/3
d- n'existe pas.

Là c'est un peu la même chose qu'au 3), je suis parti du principe que cos(x) était négligeable et qu'on avait qqch entre 1/(x+3) et 3/(x+3), ce qui donne une limite de 0. Ai-je bien fait ?

5) La limite de [(racine(x+2) - 2) / (x - 2)] lorsque x tend vers 2 :

a- est égale à +infini
b- est égale à 0
c- est égale à 1
d- est égale à ¼

Ici je sèche complètement parce qu'on a un cas d'indétermination. J'aurais besoin qu'on m'aiguille sur la voie.



Voilà, ça à l'air long je sais, mais zetes pas obligé de répondre à mes cinq question d'un coup, ce que j'aimerais c'est comprendre les réponses et leur justifications. Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
cailloux Correcteur
re : Devoir de vacances, limites à gogo 12-08-08 à 11:34

Bonjour,

Commençons par la 1):

Si la droite d' équation y=-2x+1 est asymptote à C_f en +\infty, cela signifie que:

3$\lim_{x\to +\infty}\left[f(x)+2x-1\right] =0

Pour que cette limite soit nulle, il faut nécessairement que \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty

Une autre manière de voir les choses: 3$\lim_{x\to +\infty}-2x+1=-\infty

La courbe C_f se "rapprochant" de l' asymptote en +\infty, on a bien 3$\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Devoir de vacances, limites à gogo 12-08-08 à 11:36

1)

La courbe Cf et son asymptote se rapprochent infiniment près l'une de l'autre en + oo, autrement dit, on a:

lim(x-> +oo) [f(x) - (1-2x)] = 0
et donc:
lim(x-> +oo) f(x) = lim(x-> +oo) (1-2x)
lim(x-> +oo) f(x) = - oo
-----
2)
f(x) = 20x + 1 + (x - 1)/x
f(x) = 20x + 1 + 1 - 1/x
f(x) = 20x + 2 - 1/x

lim(x-> +oo) [f(x) - (20x+2)] = lim(x-> +oo) [-1/x] = 0

et donc la droite d'équation y = 20x+2 est asymptote oblique à Cf en +oo
---
Autrement

La droite y = ax+b est asymptote oblique à Cf en +oo si a et b existe et tels que:
a = lim(x-> +oo) [f(x)/x]
b = lim(x-> +oo) [f(x) - ax]

a = lim(x-> +oo) [f(x)/x] = lim(x-> +oo) [20 + (1/x) + (x+1)/x²] = 20 + 0 + 0 = 20
b = lim(x-> +oo) [f(x) - ax] = lim(x-> +oo) [20x + 1 + (x - 1)/x - 20x] = lim(x-> +oo) [1 + (x - 1)/x] = 2
--> la droite d'équation y = 20x + 2 est asymptote oblique à Cf en +oo
-----
3) OK
-----
4)
lim(x-> +oo) [(-1 + 2)/(x+3)] <= lim(x-> +oo) [(cos(x) + 2)/(x+3)] <= lim(x-> +oo) [(1 + 2)/(x+3)]
lim(x-> +oo) [1/(x+3)] <= lim(x-> +oo) [(cos(x) + 2)/(x+3)] <= lim(x-> +oo) [3/(x+3)]
0 <= lim(x-> +oo) [(cos(x) + 2)/(x+3)] <= 0
lim(x-> +oo) [(cos(x) + 2)/(x+3)] = 0
-----
5)
(V(x+2) - 2) / (x - 2) =  (V(x+2) - 2)(V(x+2) + 2) / [(x - 2)(V(x+2) + 2)] = (x+2-4)/[(x - 2)(V(x+2) + 2)] = (x-2)/[(x - 2)(V(x+2) + 2)]

lim(x-> 2) [(V(x+2) - 2) / (x - 2)] = lim(x-> 2) [(x-2)/((x - 2)(V(x+2) + 2)] = lim(x-> 2) [1/(V(x+2) + 2)] = 1/(2+2) = 1/4
-----
Sauf distraction.  

Posté par
Jau
re : Devoir de vacances, limites à gogo 12-08-08 à 12:32

Merci beaucoup, grâce à vous j'ai des justifications qui tiennent la route. Et pour la question 5) je suis bluffé. Fallait aller la chercher quand même l'identité remarquable pour pouvoir simplifier oO

Une petite question, qui n'a pas vraiment rapport avec les maths...
Cailloux, comment fais-tu pour écrire les symboles mathématiques ainsi ? Parce qu'avec le clavier c'est pas évident de se faire comprendre quand on utilise des limites et des racines carrées ^^

Posté par
cailloux Correcteur
re : Devoir de vacances, limites à gogo 12-08-08 à 12:59

Pour les symboles mathématiques, tu as 2 solutions:

1) Tu peux utiliser les symboles d' une fenêtre pop up en cliquant en bas de la fenêtre d' édition sur le bouton \pi

c' est le plus simple mais moins joli que la solution 2):

2) Le \LaTeX

Il demande un petit apprentissage: clique sur le symbole 3$\sigma en haut de la page à droite ou sur ce lien: [lien] (ce qui revient au même). Tu auras un tutoriel.

C' est ce que j' ai utilisé...

Bon apprentissage...

Posté par
cailloux Correcteur
re : Devoir de vacances, limites à gogo 12-08-08 à 13:00

Mince, le symbole 3$\Sigma

Posté par
cailloux Correcteur
re : Devoir de vacances, limites à gogo 12-08-08 à 13:01

Roôh décidément: 4$\Sigma

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Devoir de vacances, limites à gogo 12-08-08 à 13:02

4$ \Sigma

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Devoir de vacances, limites à gogo 12-08-08 à 13:03

On comprend mieux à quoi sert la page d'aperçu.

Posté par
cailloux Correcteur
re : Devoir de vacances, limites à gogo 12-08-08 à 13:12

On ne se moque pas J-P

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Devoir de vacances, limites à gogo 12-08-08 à 14:11

Loin de moi de te jeter la pierre, cailloux.

Posté par
cailloux Correcteur
re : Devoir de vacances, limites à gogo 12-08-08 à 14:22

Citation :
Loin de moi de te jeter la pierre, cailloux.

Posté par
Jau
re : Devoir de vacances, limites à gogo 12-08-08 à 21:49

[/textrm tex]Merci beaucoup, cela me sera très utile[/tex]

Posté par
Jau
re : Devoir de vacances, limites à gogo 12-08-08 à 21:50

Désolé pour le double-post. Je voulais afficher les espaces entre les mots mais comme vous le voyez je me susi ramssé ><. ça viendra !

Bonsoir et encore merci.



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