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Devoir maison
Je voudrais pouvoir corriger ma fille pour un devoir de math mais j'avoue être en difficulté.J'espère que qulqu'un pourra m'aider.
Voici les exercices
Dans cet exercice, t et t' désignent des taux d'évolutions réciproques exprimés en pourcentage et appartiennent à l'intervalle [-100;+
].
Ainsi, " t=23 " correspond à une hausse de 23% et " t= -6.78 " correspond à une baisse de 6.78%
1°) Que se passe t'il pour t = -100 ?
2°) a) Dans le cas d'une hausse de 50%(t=50), calculer le taux d'évolution réciproque t'(arrondir à 10-1
b) Dans le cas d'une baisse de 15.25% (t=15.25), calculer le taux d'évolution réciproque t' (arrondir à 10-1)
3°) Cas général pour t et t' différents de -100
a) justifier que (1 +t/100) * (1 + t'/100) = 1
b) En déduire, par un calcul soigné et détaillé, que pour tout réel t > -100, t' = -100t/100 +t
c) Que retrouve t'on si on remplace t par 50 puis par -15.25 dans l'égalité précedente ?
4°) Ecriture d'un algorithme [quote]Taux d'evolution réciproque[/quote
Variables
N1,N2,N3,M
Entrées
Donner N1,N2,N3
Traitement
M prend la valeur (N1+N2+N3) /3
Sortie
Afficher M
a) Pour l'exemple (indépendant des taux d'évolution) d'algorithme ci contre :
- Quelle est la valeur de M lorsque N1 =7 , N2 = 9 et N3 = 14 ?
- Trouver un titre
b) En utilisant le modéle du a), écrire un algorithme permettant d'obtenir le taux d'évolution réciproque à partir d'un taux t(<-100)[quote]entré[/quote dans l'algorithme
Voila pour le premier exercice
J'ai déja trouvé :
1°) pour t = -100 le taux d'évolution est nul
2°) Pour t = 50 le taux d'évolution est de 1 + 0.5 = 1.5
le taux d'évolution réciproque est de 1/1.5 = 0.66666 qui correspond à une hausse de 66.7%
b) Pour t = -15.25 le taux d'évolution est de 1 - 0.1525 = 0.8475
le taux d'évolution réciproque est de 1/0.8475 = 1.1799 = 1 +0.1799 quicorrespond à une hausse d'environ 18%
3°) je bloque complétement pour le a) et le b) et pour le c) je ne sais pas si je dois remplacer dans le a) ou le b)
4°) a) lorsque N1 = 7 N2 = 9 et N3 = 14
alors M = (7 + 9 + 14) / 3
M = 10
le titre ?
b)
Variable
t, t'
Entrées
Donner t, t'
Traitement
t' prend la valeur (1/t)
Sortie
Afficher t'
Sincérement je ne suis sur de rien
Augmenter de t%, c'est multiplier par
Si t et t' sont réciproques, cela veut dire qu'une augmentation de t% suivie d'une augmentation de t'% est équivalente à aucune augmentation, c'est à dire à une multiplication par 1. Donc :
[1]
Si t+100 n'est pas nul, c'est à dire si t n'est pas égal à -100, on peut diviser les deux membres par 100+t :
Exemples :
Pour t=25 on trouve
Une augmentation de 25% est donc compensée par une diminution de 20%
Mais ce calcul n'est correct que si t n'est pas égal à -100. En effet, si t=-100, l'équation [1] :
[1]
s'écrit : 0*(100+t')=10000
Elle n'a pas de solution.
C'est tout à fait logique. Si on diminue une somme de 100%, elle devient nulle. Aucune augmentation en pourcentage ne peut plus compenser.
Si un prix est 1 euro, le diminuer de 100% revient à le ramener à 0 euro. Et même une augmentation de 1000%, ou de 1000000 % ne pourra que le laisser à 0.
Par contre si un prix est 1 euro, le diminuer de 99%, c'est le ramener à 0.01 euro. La formule peut s'appliquer :
et effectivement, augmenter 0.01 de 9900%, c'est le multiplier par
, c'est à dire par 100, c'est donc bien le ramener de 0.01 à 1 euro !
Pour t=50, on trouve
Une augmentation de 50% est compensée par une diminution de 33%
Pour t=-15.25, on trouve
Une diminution de 15.25% est compensée par une augmentation de 17.99%
La formule donnée au début peut aussi s'écrire :
1°) pour t = -100 le taux d'évolution est nul
Oui, mais ce n'est pas ce qui est demandé ! Il faut dire qu'il n'y a pas de taux réciproque ! Aucun taux t' ne peut compenser une diminution de 100% !
2°) Pour t = 50 le taux d'évolution est de 1 + 0.5 = 1.5
le taux d'évolution réciproque est de 1/1.5 = 0.66666 qui correspond à une hausse de 66.7%
Non ! le taux d'évolution réciproque est bien 0.666666 mais cela correspond à une hausse de -33.33%, c'est à dire à une baisse de 33.33% ! Pour compenser une augmentation, il faut faire une diminution !
Le 2b est correct !
Je pense que ce que j'ai écrit au début répond aux questions finales.
Je vous remercie de vos reponses et surtout de votre correction.
Par contre c'est très confus en ce qui concerne le 3°) pour le a) et le b)
Et pensez vous que mon 4ème exercice sur l'algorithme est bon ?
Ben, l'equation , que tu dois justifier à la question 3a, c'est l'équation que j'ai utilisée dès le début de mon message de 14h21 hier. Pour moi (pas forcément pour tout le monde) c'est la formule la plus simple à manipuler. Je vais détailler un peu.
Quand on ajoute t% à une quantité a, on calcule t% de a, c'est à dire et on ajoute le résultat à a. Donc a devient
c'est à dire
Un exemple tout de suite. Si on ajoute 18% à 15000, par exemple. On calcule d'abord 18% de 15000, c'est à dire ou 2700, et ensuite on ajoute cette quantité à a c'est à dire à 15000. 15000 devient 15000+2700=17700
Eh bien, il ne faut pas oublier que 2700, c'est et par conséquent 17700, c'est 15000+2700, soit
. Il est essentiel de comprendre que le résultat 17700 est proportionnel à la valeur initiale 15000.
Si on ajoute 18% à 45000, par exemple. On calcule d'abord 18% de 45000, c'est à dire ou 8100, et ensuite on ajoute cette quantité à a c'est à dire à 45000. 45000 devient 45000+8100=53100. Et, il ne faut pas oublier que 8100, c'est
et par conséquent 53100, c'est 45000+8100, soit
. Il est essentiel de comprendre que le résultat 53100 est proportionnel à la valeur initiale 45000.
Ainsi, ajouter 18% à une quantité, c'est la multiplier par , c'est à dire la multiplier par 1.18
et d'une façon générale
Ainsi, ajouter t% à une quantité, c'est la multiplier par
Effectivement : 15000*1.18=17700 et 45000*1.18=53100
Ajouter 18% à 1234500 c'est multiplier 1234500 par 1.18 : 1234500*1.18=1456710, exactement la même somme que l'on aurait obtenue en calculant d'abord 18% de 1234500, ce qui donne 222210 et en ajoutant cette somme à la somme de départ : 1234500+222210=1456710.
De la même manière, retrancher 18% d'une quantité a, revient à calculer 18% de a, ce qui donne et à retrancher cette quantité de a. a devient alors
c'est à dire
Si l'on convient qu'une diminution de t% correspond à une augmentation de -t%, alors la formule est exactement la même dans les deux cas.
Augmenter de t% une quantité, c'est la multiplier par avec la convention qu'une augmentation négative, c'est une diminution.
Pour en revenir à votre problème, augmenter a de t%, et ensuite augmenter de t'%, revient dans un premier temps à multiplier a par et dans un deuxième temps à multiplier le résultat de la première multiplication par
. Si les taux t et t' sont réciproques, cela veut dire que l'un compense l'autre, qu'après ces deux "augmentations" on retombera sur la même somme a, c'est à dire que
C'est à dire :
C'est très exactement la formule que l'on vous demande d'établir. C'est une relation entre t et t'. Connaître t permet de calculer t'. Connaître t' permet de calculer t.
Transformer cette formule pour obtenir t' en fonction de t n'est pas très difficile.
Je multiplie par 100 les deux membres de cette équation et j'obtiens :
Je multiplie encore une fois par 100 les deux membres de cette équation et j'obtiens :
Je divise les deux membres par 100+t :
J'ôte 100 des deux membres :
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