Bonjour j'ai un exercice a donné en math et je suis en terminale.
Donc pouvez vous m'aider a faire en entier l'exercice s'il vous plait merci.
Voici l'exercice :
Pour tout entier naturel n, f
n
est la fonction définie sur R par f n

(x)=(1−x )
n
e
x
.

On considère les suites (un
) et (I n
) définies par :

un=∫
0
1
f
n
(x )dx et I
n=∫
0
1
(1−x)
n
dx

1. Donner la valeur exacte de u0
.

2. F est la fonction définie sur R par F(x )=(2−x )e
x
.
Pour tout réel x, F'( x) s'écrit sous la forme F'( x)=h(x)e
x
.

2.a. Donner l'expression de h(x ) .
2.b. En déduire la valeur exacte de u1

, en détaillant le calcul.

3. Exprimer I
n
en fonction de n. Détailler le calcul.

4.a. Donner un encadrement de e
x
lorsque 0≤x≤1 . Justifier votre réponse.

4.b. Montrer que pour tout entier naturel n, AI n≤un≤BIn où A et B sont des réels strictement
positifs à préciser.
5. Justifier que lim
n→+∞
un=0 .

6.a. Pour tout entier naturel n≥1 , exprimer Fn
(x )−Fn
'(x ) en fonction de Fn−1
(x ) .

6.b. En déduire que pour tout entier naturel n≥1 , un=−1+nun−1