Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Devoir Maison de Math
Sujet
Exercice 1
Une autre méthode pour démontrer l'inégalité de Bernoulli
1. n est un entier naturel non nul. Soit f la fonction définire sur [0;+oo[ par :
f(x)=(1+x)n-1-nx
Déterminer le sens de variation de f sur [0;+oo[
2. Démontrer alors que pour tout x réel positif et tout entier naturel n non nul:
(1+x)n >= 1+nx
________________________________________________
1er essais:
f'(x)=2*(1+x)*(0+1)-0-n = (2+2x)*(0+1)-0-n = 2+2x+n
car (u2)'=2uu'
Donc pour 2+2x-n=0
on obtient n-1=x
Mais là je bloque sur mon tableau car car je le place où mon n-1 si déjà il est juste
2eme essais
f'(x)=n*1*(1+x)n-1-0-n = Je bloque sur la suite car une puissance de n-1 
Car un=nu'nn-1
Donc voilà pour résumer je suis un peu perdu et je ne sais plus quoi faire et quoi est juste, et le temps avance trop vite.
Merci de votre aide
Bonsoir,
Il faut traiter le cas général, ton premier essai ne sert pas à grand chose..
Et alors ? que ce soit puissance n-1 ou pas ce n'est pas important..
Ce que je te conseille c'est de calculer la dérivée seconde, donc ont a le signe facilement. Tu auras alors les variations de f', et tu pourras trouver son signe en calculant sa valeur en 0. Tu auras alors les variations de f.
Bonsoir,
Voir inégalité de Bernouilli sur Wikipedia
Démonstration par étude des variations de la différence faite dans le paragraphe généralisation
Merci de ton aide premièrement.
Mais:
f'(x)=n*1*(1+x)n-1-0-n = n*(1+x)n-1-n
Donc pour
n*(1+x)n-1-n=0
n*(1+x)n-1=n
(1+x)n-1=1 Car n/n=1
1+x=n-1"racine"1
x=(n-1"racine"1)-1
x=0
Mais alors si j'ai raison d'après la réciproque du théorème comme f'(x)=0 alors f est constante
C'est juste ? Et si oui je ne sais pas comment commencer la question 2
Car wiki nous dit:
Pour tout nombre réel r>1 et tout nombre réel x non nul et supérieur ou égal à −1, on a encore : (1+x)r>1+rx
Merci encore de vos aides
C'est complètement faux !
Tu as juste trouvé que la fonction dérivait s'annulait pour x=0 ! Pas que la fonction dérivée était nulle tout le temps !
Donc si j'ai compris:
Tableau de variation:
(image jointe)
Car f'(x) <= 0
J'ai raison ? Et si oui comment je fait pour la question deux ?
Merci encore une fois de vos aides.
Tu veux sûrement dire f'(x)>=0. Précise l'intervalle dans ta rédaction, toujours. Elle n'est pas positive sur R par exemple.
Ok pour le tableau.
Fais le calcul de f(0) à côté du tableau pour justifier.
Tu en conclues donc quoi ?
Pour f(0)=(1+0)n-1-n*0 = 1n-1 = 1-1 = 0
Nous pouvons donc conclure que la fonction est définie sur [0;+oo[ En disant sa j'ai l'impression de ré-inventé la roue car il est dit dans l'énoncé "Soit f la fonction définire sur [0;+oo[ " Et je viens de conclure la même chose, non ?
Je pense qu'il faut dire autre chose, mais je n'en sais rien.
Donc l'inégalité de Bernoulli est démontré C'est sa ? Mais cela ne m'aide pas pour la question suivante, si ?
elle est démontrée car elle on le même sens de variation ? Il doit y avoir autre chose car je suis sur qu'il en existe plein de fonction avec ce même sens de variation.
Pour récap:
On cherche une autre méthode pour démontré l'inégalité de Bernoulli -> On calcul le sens de variation -> donc Inégalité de Bernoulli est démontré car il on le même sens de variation
Je sais pas ce que tu pense du raisonnement, mais j'ai l'impression de tourné en rond
Sans blague !!
Mais enfin pourquoi on te fait trouver le sens de variation de cette fonction en particulier ?
Et ça veut dire quoi que la fonction soit croissante à partir de 0 sur [0,+infini[ ?
Par rapport à l'inégalité qu'on veut te faire trouver, tu ne vois pas le rapport avec la fonction qu'on te fait étudier ?
Ca voudrait peut-être dire que la fonction est positive non ?
D'accord elle est positive je comprend mais je ne comprend vraiment pas l'intérêt avec la question suivante.
Mais je suis sur que tu va réussir à me faire trouver le chemin
Je crois avoir compri:
A= (1+x)n
B= 1+nx
F(x)= A-B>=0
F(x)=(1+x)n-1+nx>=0
F(x)=(1+x)n>=1+nx
Donc c'est démontré.
Je pense que j'ai trouvé, tu en pense quoi ?
En tout cas merci de ton aide, et si tu as deux minutes viens me donner ton avis sur l'exercice 2, Merci d'avance
https://www.ilemaths.net/sujet-devoir-maison-de-mathematique-659811.html
Annuler
connectez vous