bonjour,
(AK) et (IC) sont parallèles ( [AI] et [KC] sont // et égaux donc AIKC est un parallélogramme et (AI) et (IC)//)
comme K est milieu de [DC], la réciproque du téorème de la droite des milieux (application particulière du théorème de Thalès) te permet de dire que M est au milieu de [DN]
par le même raisonnement dans AMB, N est le milieu de [MB]
par conséquent on a (DM]=[MN]=[NB]
regarde bien le triangle ABC
tu sais que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux.
par conséquent (BD) sera une médiane du triangle ACB
Si O est ce point on a aussi OM=ON (dans AICK)
tu as les éléments pour affirmer que N est le centre de gravité du triangle ACB
je te laisse trouver pourquoi (c'est du cours)

merci pour ta réponse mais je n'arrive pas à comprendre ta réponse.
pour le a) je n'ai pas vu en cours la réciproque du théorème de la droite des milieux et je n'arrive pas à l'appliquer à mon exercice.
pour le b) je ne me suis pas encore penché dessus
si tu pouvais me réexpliquer ça avec toutes les éapes ce serait sympa
merci

K est le milieu de [DC] donc
DK/DC=1/2  
comme (AK)// à (IC)
par Thalès
DK/DC=DM/DN donc M est le milieu de [DN]
de la même manière dans ABM N sera le milieu de [AM]
et on aura donc
DM=MN=NB
pour le b) tu auras bien compris que, O étant le milieu de [AC] (BO) sera médiane du triangle ACB
so DO=OB et DM=NB
tu as forcément OM=ON
donc ON=1/2MN=1/2NB
N étant sur la médiane du triangle BAC, est tel que
NB=2NO.
cela signifie que N est au 2/3 de BO, ce qui est la position du centre de gravité d'un triangle sur la médiane.
N est donc le centre de gravité du triangle ACB

merci pour ton aide.
j'y suis parvenu