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Niveau Maths sup
devoir maison problème équipotence
Posté par n12345
bonjour,
je suis en mpsi et je bloque sur certaines questions de mon dm dont voici l'énoncé:
On dit que 2 ensembles A et B sont equipotents lorsqu'il existe une bijection de A vers B. On note alors A
B.
On rappelle que pour 2 ensembles E et F, F^E désigne l'ensemble des applications de E vers F.
La partie 1 consistait à démontrer que la relation d'équipotence était une relation d'équivalence.
La partie 2 consistait à démontrer certaines propriétés entre le produit cartésien et l'équipotence:
- A
BBA
- (AB)CA(BC)
- (A 
B)C=(AC)(BC)
3a)Montrer pour tous ensembles A et B, C^(AB)(C^B)^A.
b)Montrer pour tous ensembles A B et C tels que A et B sont disjoints, C^(AB)(C^A)(C^B)
Montrer que ce résultat devient faux si A et B ne sont pas disjoints.
4)On note 1, un singleton quelconque:
4a)Montrer que tous les singletons sont équipotents.(j'ai réussi cette question)
b)Montrer que pour tout ensemble A, A
c)Montrer que pour tout ensemble A, 1
d)Montrer pour tout ensemble A, A^
1
e)Montrer pour tout ensemble A non vide, ^A=
Merci si vous prenez du temps pour répondre, bonne journée.
salut
pour construire une application de A x B dans C tu peux :
f : A x B --> C se décompose en:
(a, b) --> f(a, b)
g : A --> CB
a --> fa : fa (b) = f(a, b)
Ok carpediem cette méthode permet de répondre à la question 3a, as tu une idée pour la suite ?
Ensuite GBZM, pour faire une bijection j'envoie (a;b) sur (b;a) non ?
Je ne comprends pas le but de votre question?
Je pensais que tu bloquais aussi sur cette question. Si cen 'est pas le cas, tant mieux !
Quand on cherche une bijection entre deux ensembles et
, toujours se demander si l'on voit naturellement une application de
dans
, ou de
dans
. Après on peut se demander si cette application est bijective.
Par exemple, entre et
, vois-tu quelque chose de "naturel" ? (Il y a un telle application naturelle dans un sens, indépendamment du fait que
et
soient disjoints. Après, on utilise cette hypothèse pour montrer que c'est une bijection.)
Oui, j'ai quand même réussi à répondre aux 2 premières parties mais la troisième et la quatrième partie restent très abstraites pour moi et je ne vois justement pas d'application « naturelle » comme dans les parties précédentes..
Pouvez vous me re expliquer votre raisonnement?
Merci beaucoup de votre réponse
Une indication : si est une application de
dans
, vois-tu comment lui associer "naturellement" une application de
dans
?
Si f: AB
C
je ne vois pas d'application évidente à lui associer allant de A dans C, peut être en « décomposant » la fonction comme pour la question 3a)..
Je ne sais pas
vu que les singletons sont des ensembles finis il est relativement aisé d'exhiber les applications de A dans 1 ou de 1 dans A ou de 1 dans 1 et idem avec l'ensemble vide ...