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Devoir Maison : suite définie en fonction d'une autre

Posté par
Mazinkaiser 27-09-15 à 14:58

Bonjour,

J'ai reçu mon premier devoir maison et il s'avère que je suis bloqué.
Tout d'abord, je tiens à remercier Naghmouch qui m'a aidé pour la première partie de mon devoir, encore merci !

Cependant, je me retrouve de nouveaux bloqué, mais cette fois-ci pour la deuxième partie.

Voici l'énoncé :

u définie par : pour tout n > 0, Un = n2/2n

     a) pour tout n > 0, Vn = Un+1/ Un

          i. Déterminer en justifiant la limite de V
          ii. Montrer que : pour tout n > 0, Vn> 1/2
          iii. Déterminer le plus petit entier N tel que : pour tout n >/ N ("supérieur ou égal") => Vn < 3/4
          iv. En déduire que : pour tout n >/ N, Un+1\< 3/4 Un


     b) On pose, pour tout n >/5, Sn= u5+ u6+ ... + un

          i. Montrer que : pour tout n >/ 5, Un\< (3/4)n-5.u5
          ii. En déduire : pour tout n >/ 5, Sn \< [1+(3/4)+(3/4)2+...+(3/4)n-5].u5
          iii. Déduire de ce qui précède, que (Sn) est majorée
          iv. Étudier les variations de(Sn)et en déduire qu'elle converge.


Où j'en suis :

     a)
          i. Je pense avoir réussi, j'ai donc exprimé Vn en fonction de Un+1/ Un, et après avoir factorisé et simplifié par un n2 qui apparaissait, j'ai obtenu : Vn = (2/n + 1/n2).1/2
Ainsi, Vn tend vers 0
          ii. A partir d'ici, je bloque , je voudrais procéder par récurrence, voici mon raisonnement :

Soit P(n) l'assertion : pour tout n > 0, Vn > 1/2

1. Au rang n=1 : : V1 = 3/2 > 1/2
L'assertion est vraie au rang n = 1

2. k € IN

   Supposons : Vk > 1/2
   Montrons : Vk+1 > 1/2

Soit à montrer :

(2k2+ 5k + 3)/[2(k2+2k+1)(k+1)] -1/2 > 0

Ce qui donne, après (longue) transformation :

(-k3 - k2 +2k +2)/ [4(k2+2k+1)(k+1)] > 0

On étudie donc son signe :

X € positif privé de zéro, (-X3 - X2 +2X +2)/ [4(X2+2X+1)(X+1)]

4(X2+2X+1)(X+1) > 0 comme produit de positifs

Le signe du quotient dépend donc du signe de : -X3 - X2 +2X +2

Je veux le factoriser, pour faire disparaitre la puissance cube, mais j'obtiens : X[- X2-X +(2/x)]

Et à partir de ça, je ne sais pas comment me débrouiller:?:

Merci d'avance de votre aide !

Posté par
Mazinkaiserre : Devoir Maison : suite définie en fonction d'une autre 27-09-15 à 15:00

Edit : Petit erreur pour l'énoncé, la suite u est définie par : pour tout n > 0, Un = n2/2n

Posté par
philgr22re : Devoir Maison : suite définie en fonction d'une autre 27-09-15 à 15:22

Bonjour,
Ton calcul de Vn est faux

Posté par
lakere : Devoir Maison : suite définie en fonction d'une autre 27-09-15 à 15:25

Bonjour,

a)i)ii) v_n=\dfrac{1}{2}\dfrac{(n+1)^2}{n^2}=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2\geq \dfrac{1}{2}

C' est un début...

Posté par
lakere : Devoir Maison : suite définie en fonction d'une autre 27-09-15 à 15:34

iii) v_n<\dfrac{3}{4}

\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2<\dfrac{3}{4}

\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2<\dfrac{3}{2}

1+\dfrac{1}{n}<\sqrt{\dfrac{3}{2}}

\dfrac{1}{n}<\sqrt{\dfrac{3}{2}}-1

n>\dfrac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}-1}

Ce qui donne N=5

iv) Donc pour tout n\geq 5, v_n\leq \dfrac{3}{4}

ou encore u_{n+1}\leq \dfrac{3}{4}\,u_n

Posté par
lakere : Devoir Maison : suite définie en fonction d'une autre 27-09-15 à 15:50

b)i) On fait une récurrence sur n en utilisant a)iv) pour l' hérédité.

ii)D' après la question précédente, on peut écrire les n-4 inégalités:

u_5\leq u_5

u_6\leq \dfrac{3}{4}u_5

  \vdots\qquad\vdots

u_n\leq \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}u_5

que l' on somme pour obtenir:

S_n\leq \left[1+\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\cdots +\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}\right]u_5

iii) S_n\leq \dfrac{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n-4}}{1-\dfrac{3}{4}}\,u_5

S_n\leq 4\left(1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n-4}\right)\,u_5\leq 4\,u_5

Donc (S_n) est majorée.

iv) Etant croissante et majorée, (S_n) est convergente.

Posté par
Mazinkaiserre : Devoir Maison : suite définie en fonction d'une autre 27-09-15 à 19:41

Tout d'abord, merci à vous deux pour vos réponses !

Quelle réponse détaillée Lake, je n'en attendais pas autant... mille merci !

Ensuite, j'ai en effet tout repris depuis le début, et je n'avais pas remarqué pour les deux puissances carrés au terme général de Vn... Maintenant ça va mieux !

a) i. Du coup, Vn tend vers 1/2

   ii. Ici, j'ai un doute en ce qui concerne ma rédaction, je me demande si elle est correct...
Je suis parti du fait que, étant donné que n > 0, alors 1/n > 0, et puis à partir de ça, je suis allé "cherché" l'expression de Vn, et on trouve bien Vn > 1/2, mais cependant, ai-je le droit de rédiger comme ça ?

   iii./iv. Aucun problème pour ces deux là, c'est nickel


b) i. Ici, je ne sais pas si mon raisonnement est correcte :

Aucun problème pour l'initialisation, mais par contre pour l'hérédité, je suis parti de Uk+1 \< 3/4 Uk :
==> on a 3/4 Uk < Uk et d'après l'hypothèse de récurrence : Uk < (3/4)k-5.U5

On en déduit donc que :

Uk+1 < 3/4 . Uk < (3/4)k-5. U5
==> Uk+1 < Uk < (3/4)k-4. U5

d'où : Uk+1 < (3/4)k-4. U5
Ce qui me permet de récupérer l'hérédité et de conclure, est-ce correct ?

   ii. Aucun problème ici !

   iii. J'ai compris le raisonnement, mais par contre, pourquoi préciser que U5.[1-(3/4)n-4].4 < 4.U5 ?

   iv. (Sn) étant une somme de termes positifs, alors elle est croissante, aucun problème ici et pour conclure.


Voilà, c'est tout pour ce que j'ai du mal à comprendre ^^

En tout cas , infiniment merci !  

Posté par
lakere : Devoir Maison : suite définie en fonction d'une autre 28-09-15 à 11:21

a)ii)v_n=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2

1+\dfrac{1}{n}\geq 1

\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2\geq 1

\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2\geq \dfrac{1}{2}

c' est à dire:

v_n\geq \dfrac{1}{2}

b)i)Hérédité:

On suppose donc que pour un certain entier naturel k supérieur ou égal à 5 fixé:

u_k\leq \left(\dfrac{3}{4}\right)^{k-5}u_5


Alors, d' après a)iv):

u_{k+1}\leq \dfrac{3}{4}u_k

puis avec l' hypothèse de récurrence:

u_{k+1}\leq \dfrac{3}{4}\times \left(\dfrac{3}{4}\right)^{k-5}u_5

c' est à dire:

u_{k+1}\leq \left(\dfrac{3}{4}\right)^{k-4}u_5

et l' hérédité est prouvée.

b)iii)

Majorer le terme général d' une suite consiste à lui trouver un majorant indépendant de n

Ici, on a:

S_n\leq 4\left(1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n-4}\right)\,u_5 (le terme de droite dépend de n)

mais 4\left(1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n-4}\right)\,u_5\leq 4u_5 puisque:

4\left(1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n-4}\right)\leq 4 pour tout n\geq 5

Donc S_n\leq 4u_5 pour tout n\geq 5

ou encore S_n\leq \dfrac{25}{8} pour tout n\geq 5





Posté par
Mazinkaiserre : Devoir Maison : suite définie en fonction d'une autre 29-09-15 à 20:34

D'accord, tu viens d'éclaircir mes points d'ombre...
Du coup, j'ai compris maintenant, et je t'en remercie infiniment !

Merci l'ami !

Posté par
lakere : Devoir Maison : suite définie en fonction d'une autre 29-09-15 à 22:25

Posté par
Lyuffyre : Devoir Maison : suite définie en fonction d'une autre 04-10-23 à 14:31

Bonjour
Je n'ai pas compris comment vous avez trouvé (1+1/n)^2 alors que j'ai (n+1)^2/n^2?

Posté par
Leilere : Devoir Maison : suite définie en fonction d'une autre 04-10-23 à 14:37

bonjour


\frac{(n+1)²}{n²} = (\frac{n+1}{n})² = (\frac{n}{n} + \frac{1}{n} ) ² = ?

Posté par
Lyuffyre : Devoir Maison : suite définie en fonction d'une autre 04-10-23 à 14:46

Leile

Leile @ 04-10-2023 à 14:37

bonjour


\frac{(n+1)²}{n²} = (\frac{n+1}{n})² = (\frac{n}{n} + \frac{1}{n} ) ² = ?


Merci pour la réponse effectivement je l'ai pas vu de cette manière


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