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Devoir Maison Terminal, dénombrement

Posté par
PainOchocolat
22-10-20 à 12:08

Bonjour, j'ai dans mon Devoir Maison cet exercice qui me pose problème (je suis en Terminal) :
À la loterie nationale, on dispose de deux urnes. La première contient 49 boules bleues numérotées de 1 à 49 et la seconde 10 boules rouges numérotées de 1 à 10. On tire d'abord successivement et sans remise cinq boules dans la première urne, puis une boule de la seconde. Un tirage est ainsi constitué de 6 numéros.

La loterie propose le tableau de gains suivants : (Désolé, je ne savais pas comment faire un tableau)

Bons numéros         Gains
5 bleues et 1 rouge 5 000 000€
5 bleues                         100 000€
4 bleues et 1 rouge 1 000€
4 bleues                         500€

1)Combien de tirages permettent de gagner :
a) 5 000 000€ ?   b) 100 000€ ?    c) 1 000€  ?   d) 500€ ?

2)Quelle est la probabilité de gagner à cette loterie ?


Pour la 1)a, j'ai bien une réponse : il y a 10 tirages, car 10 choix de boules rouges. Mais concernant la suite je bloque, on nous dit dans l'énoncé qu'un tirage c'est 6 numéros, alors que pour gagner 100 000€, il n'y a besoin que de 5 numéros "juste", comment faire... ?
Merci d'avance au temps que vous prendrez à me répondre !

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 12:27

salut

pour gagner il faut les six bons numéros : cinq bleus + un rouge :

combien de choix pour les bleus ?
combiens de choix pour le rouge ?

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 12:33

Bonjour,
Je dirais 5 parmi 5 pour les boules bleues et 1 parmi 1 pour la boule rouge. Soit 1×1 = 1, donc 1 chance de gagner 5 000 000€

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 12:43

ben non !!!

comment sont tirées les boules ?

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 13:02

Mince... excusez moi pour cette étourderie, elles sont tirées successivement et sans remise, donc =(5!/(5-5)!)×1!
=5! × 1!= 120 tirages ?

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 14:24

je ne comprends rien !!

combien de choix as-tu pour la première boule ?
...

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 14:42

Pour la 1ere boule il y a 49 choix, puis 48, puis 47,puis 46, puis 45. Et 10 choix pour la boule rouge

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 15:24

ok maintenant il faut traiter complètement le cas des boules bleues

tu as 49 * ... * 45 choix de choisir des boules ordonnées mais l'important c'est d'avoir ces numéros même dans le désordre !!!

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 16:31

J'ai une formule dans mon cours : n!/(n-p)!
Ici n=49, pour 49 choix de boules bleues, p=5 car 5 boules choisi,
Donc : 49!/(49-5)! = 228 826 080  (ce qui revient à 49x48x47x46x45) nombres de tirages de boule bleues?! J'avais trouvé ce résultat avant mais il me paraît beaucoup trop énorme non ?

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 17:47

tu as choisi cinq nunéros a, b, c, d et e dans un ordre ... mais si tu choisis b, d, a, c et e tu auras encore les mêmes numéros ...

donc combien de façons de ranger ces cinq numéros ?

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 17:58

C'est le nombre de permutations, donc 5!,soit 5×4×3×2×1=120 ?

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 18:05

ok ...

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 18:08

Donc 120 tirages pour les boules bleues, et 1 tirage pour la boule rouge, donc 120×1=120 tirages possibles pour gagner 5 000 000€ ?

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 18:13

qu'en penses-tu ?

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 18:19

J'en pense que ça fais beaucoup de tirages pour avoir le meilleur gain...

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 19:18

à mon avis tu reverras ton point de vue quand tu répondras à la question 2/...

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 19:34

Si je suis ce raisonnement, il y a 5 boules tirées, donc 5!=120 tirages possibles pour les boules bleues, on ne tire pas de boule rouge...
Donc il y a 120 tirages possibles pour gagner 5 000 000€ et 120 tirages possibles pour gagner 100 000€, je pense qu'il ne peut pas avoir les mêmes chances de gagner le gros lot et un prix inférieur, j'en conclus donc que c'est faux... (?)

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 19:53

ben n'y aurait-il pas autant de chances que de gagner 5 000 000 que de gagner 100 000 ?

il y a tout ceux qui ont les 5 numéros bleus et le numéro rouge et il y a autant que tout ceux qui ont les 5 numéros bleus et pas la boule rouge !!!

mais ceux qui ont les 5 numéros bleus ont forcément une boule rouge mais pas la bonne boule rouge !!!

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 19:55

carpediem @ 22-10-2020 à 19:53

ben n'y aurait-il pas autant de chances que de gagner 5 000 000 que de gagner 100 000 ?

il y a tout ceux qui ont les 5 numéros bleus et le numéro rouge et il y a autant que tout ceux qui ont les 5 numéros bleus et pas la bonne boule rouge !!!

mais ceux qui ont les 5 numéros bleus ont forcément une boule rouge mais pas la bonne boule rouge !!!

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 20:09

Ouahhh je viens de comprendre l'énoncé !!!
Est-ce que l'ordre a de l'importance ?
Si oui, pour 5 000 000€ il y 6 tirages possibles. (5 bleues et 1 rouge = 6)
Pour 100 000€, il y a 5 tirages possibles pour les boules bleues, puis 9 pour les rouges (10-1=9, on enlève la bonne boule), donc 5+9=14 tirages possibles.

Sinon, pour 5 000 000€ il y a 120 tirages possibles (5! × 1! =120).
Pour 100 000€ il y a 120 tirages possibles, mais ce n'est pas ça a moins que je me trompe .

Ensuite, petite question, faut il additionner ou multiplier dans ces cas ?

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 20:25

bon je suis désolé mais je me suis mélangé les pinceaux ... tout l'énoncé racontant comment on tire les boules n'est que du blabla !!

il n'y a qu'un tirage gagnant 5 000 000 € : les cinq numéros bleus et le bon numéro rouge

il y a neuf tirages gagnant 100 000 € : les cinq numéros bleus et un numéro rouge qui n'est pas le bon numéro rouge ...

encore désolé d'avoir persisté et induit en erreur ...

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 21:05

Pas bête... Vous n'avez pas à vous excuser, c'est quand même a moi de réfléchir, vous ne pouvez pas tout "comprendre" de suite (je ne dénigre en aucun cas votre niveau Mathématiques, je le respecte en tout point), c'est moi qui vous remercie de m'aider !
Donc pour la 1)a, 1)b, 1)c, 1)d il y a aurait a chaque fois 1 tirages possibles !
Bon maintenant concernant la 2), il faut calculer le nombre de tirages totals, soit
49×48×...×1 pour les boules bleues ((49)!/(49-5)!), pour les boules rouges 10×9×...×1 ((10!/(10-1)!)
Donc 228 826 080 x 10 = 2 288 260 800 tirages possibles en tout.
P(A) = 4 (<= 4 chances car 4 prix)/2 288 260 800 = 1/5 720 650 200 chances de gagner à la loterie ?

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 22-10-20 à 21:14

PainOchocolat

PainOchocolat @ 22-10-2020 à 21:05

Pas bête... Vous n'avez pas à vous excuser, c'est quand même a moi de réfléchir, vous ne pouvez pas tout "comprendre" de suite (je ne dénigre en aucun cas votre niveau en Mathématiques, je le respecte en tout point), c'est moi qui vous remercie de m'aider !
Donc pour la 1)a, 1)b, 1)c, 1)d, il y aurait à chaque fois 1 tirages possibles !
Bon maintenant concernant la 2), il faut calculer le nombre de tirages totals, soit
49×48×...×1 pour les boules bleues ((49)!/(49-5)!), pour les boules rouges 10×9×...×1 ((10!/(10-1)!)
Donc 228 826 080 x 10 = 2 288 260 800 tirages possibles en tout.
P(A) = 4 (<= 4 chances car 4 prix)/2 288 260 800 = 1/5 720 650 200 chances de gagner à la loterie ?

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 23-10-20 à 10:59

Euhh, après réflexion je pense que pour la 1), la réponse à la 1)a est belle et bien 1 tirage possible, mais pour la 1)b je pense que c'est 1 tirage possible pour les boules 5 bleues et 9 tirages possibles vu que l'on a pas la bonne boule pour la boule rouge, pourquoi 9, car 10 boule moins la bonne =9 donc 1+9=10 tirages possibles pour gagner 100 000€. Pour la 1)c, on tire 4 bonnes boules bleues, donc 1 tirage possible plus les 49-4=45 (moins les boules déjà tirées) 45-1=44 (moins la 5eme bonne boule que l'on ne tire pas), ce qui nous fait 1+44=45 tirages possibles vu que l'on a pas la 5eme boule bonne pour les boules bleues, et 1 tirage possible pour la rouge, ce qui donne 45+1=46 tirages possibles pour gagner 1000€. Pour la 1)d 4 bonnes boules bleues tirées donc 1 tirage possible, plus les 44 autres boules bleues (car 49-4(<=les boules déjà tirées)-1(<=la bonne boule)=44), donc 44+1=45, plus 9 tirages possibles pour la rouge (10-1(<=la bonne boule, que l'on ne tire pas)=9), ce qui nous fait 45+9=54 tirages possibles pour gagner 500€. Ce raisonnement me parait plus juste car nos chances de gagner diminuent selon le gain !

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 23-10-20 à 14:30

attention !!

carpediem @ 22-10-2020 à 20:25

il n'y a qu'un tirage gagnant 5 000 000 € : les cinq numéros bleus et le bon numéro rouge

il y a neuf tirages gagnant 100 000 € : les cinq numéros bleus et un numéro rouge qui n'est pas le bon numéro rouge ...


pour 1c/ il te faut quatre numéros bleus parmi les cinq bons bleus et le numéro rouge

de combien de façons peux-tu choisir 4 numéros parmi 5 ?

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 23-10-20 à 14:37

Si on tient compte de l'ordre et sans remise :
5×4×3×2=120 tirages possibles pour 4 boules bleus.
Sinon :
5!/4!×(5-4)!=5 tirages possibles pour 4 boules bleues.
Mais faut il prendre en compte la 5ème boule bleue que l'on tire qui est mauvaise dans notre calcul ?

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 23-10-20 à 14:41

oublie cette histoire d'ordre qui ne concerne que le modèle du jeux !!! et n'a rien à voir avec les questions !!!

tu as cinq boules (qui sont tirées comme elles sont tirées mais on s'en fout)

et toi tu n'en as que quatre : de combien de façons cela est-il possible ?

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 23-10-20 à 14:44

D'accord
On a 4×3×2×1=24 possibilités pour 4 boules ?

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 23-10-20 à 15:08

non ...

tu as 5 boules (par exemple 23, 12, 45, 6 et 13 et on se fout de savoir comment ils ont été obtenus) qui constituent les numéros bleus

de combien de façons peux-tu avoir 4 numéros parmi ces 5  ... et ensuite un autre numéro bleu puisqu'il t'en faut 5 ...

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 23-10-20 à 16:33

120 façons différentes possibles ?
5!/(5-4)!=120 pour les 4 boules bleues
Et 44 boules différentes pour la 5ème, 49 en tout moins le 4 déjà prises et moins la bonne boule
Donc 120 +44=164 ou 120×44 ?

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 23-10-20 à 17:48

non tu as cinq façons de n'avoir que quatre bons numéros parmi les cinq (il y a cinq cas de ne pas avoir un bon numéro)

et tu dois multiplier par un des 49 - 5 = 44 numéros restants soit 5 * 44

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 23-10-20 à 18:09

Donc on a 5×44=220 tirages possibles pour les boules bleues et pour la boule rouge il y a 1 tirage possible donc 220x1=220 tirages possibles pour gagner 1000€ ?
Dans ce cas là pourriez-vous me réexpliquer si cela ne vous dérange pas, comment vous faites pour trouver 9 tirages possibles pour gagner 100 000€.

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 23-10-20 à 18:43

ben tu n'as qu'une façon d'avoir les cinq boules bleues et tu as 9 façons de ne pas avoir la bonne boule rouge donc 1 * 9 ...

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 23-10-20 à 19:00

D'accord merci beaucoup, je ne savais pas si il fallait multiplier ou additionner !
Sinon pour la 1)a 1×1=1 tirage possible
La 1)b il y a 1×9=9 tirages possibles
La 1)c il y a 44×1=44 tirages possibles
La 1)d il y a 44×9=396 tirages possibles
Est-ce cela ?

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 23-10-20 à 19:07

pour c et d tu oublies le choix des quatre boules ...

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 23-10-20 à 19:12

1)c 1+44×1=45 tirages possibles
1)d 1+44×9=397 tirages possibles
Est-ce bon maintenant ?

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 23-10-20 à 19:16

carpediem @ 23-10-2020 à 17:48

non tu as cinq façons de n'avoir que quatre bons numéros parmi les cinq (il y a cinq cas de ne pas avoir un bon numéro)

et tu dois multiplier par un des 49 - 5 = 44 numéros restants soit 5 * 44
PainOchocolat @ 23-10-2020 à 18:09

Donc on a 5×44=220 tirages possibles pour les boules bleues et pour la boule rouge il y a 1 tirage possible donc 220x1=220 tirages possibles pour gagner 1000€ ?
Dans ce cas là pourriez-vous me réexpliquer si cela ne vous dérange pas, comment vous faites pour trouver 9 tirages possibles pour gagner 100 000€.

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 23-10-20 à 20:17

1)c 1+5×44×1=221 tirages possibles
1)d 1+220×9=1981 tirages possibles
Maintenant ?

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 23-10-20 à 20:26

PainOchocolat @ 23-10-2020 à 20:17

1)c 1+5×44×1=264tirages possibles
1)d 1+220×9=1989tirages possibles
Maintenant ?

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 23-10-20 à 23:23

mais que vient faire ce 1 + ... ?

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 24-10-20 à 07:10

Eh bien c'est le nombre de tirages possibles pour les 4 boules bleues ? Il y aurait fallut multiplier ?
A vrai dire je commence à me mélanger les pinceaux...

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 24-10-20 à 16:18

Mais pourquoi est-ce que l'on calcule 5x44, alors qu'il n'y a pas de remise ? Ce serait plutôt 49x48x47x46x45 ?

Posté par
carpediem
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 24-10-20 à 16:37

parce que je te l'ai dit et redit : on se fout de savoir comment les cinq numéros sont choisis !!!!!!!!!!!!!!!!!!!

il faut que nous ayons les mêmes 5 bons numéros quand on joue

pour avoir 4 bons numéros il y a 5 façons de jeter un bon numéro * (49 - 5) de choisir un mauvais numéro !!!!!!!!!!!!

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 24-10-20 à 17:59

... je commence un peu à désespérer... Je ne comprends toujours pas et je n'ai pas envie de mettre quelque chose que je ne comprends pas... quitte à mettre quelque chose de faux...

Posté par
Justineduval5
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 31-10-20 à 14:53

Bonjour, as-tu réussit à résoudre cette question car j'ai exactement le même DM et je suis bloquer à la même question

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 31-10-20 à 16:59

Bonjour, malheureusement non...
J'ai mis pour la 1)a 1×1=1
1)b 1x9=9
1)c 5×44=220
1)d 5×44×9=1980

2)1+9+220+1980=2210
Il y a 49!/(49-5!)=228826080 tirages possibles pour les boules bleues
Il y a 10!/(10-1)!=10 tirages possibles pour la boule rouge
Soit 10x228826080 = 2288260800
Donc 2210/2288260800=9.65×10^-7
Soit 0.000000965 chance de gagner à la loterie.
Voici ce que j'ai mis, certainement faux, mais l'exercice est fait...

Posté par
Ouimagatee
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 31-10-20 à 17:26

Bonjour, pourquoi fais tu 5*44 a la 1)c)

Est ce que ce serais pas plutôt 5*45 *1 = 225
Car on a déjà nos 4 numéros bleus gagnants, donc 49-5 = 45
Le 1 car 1 numéro rouge gagnant

Et enfin le *5 car on a 5 position possible pour le 5 ème nombre a tiré :

45 Bleu Bleu Bleu Bleu
Bleu 45 Bleu Bleu Bleu
Bleu Bleu 45 Bleu Bleu
Bleu Bleu Bleu 45 Bleu
BLEU BLEU BLEU BLEU 45

(le 45 représentant les 45 possibilité restante pour les nombres a tiré comme expliqué ci dessus)

On suit le même raisonnement pour la 1d).

Posté par
PainOchocolat
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 31-10-20 à 17:30

Eh bien parce que l'on tire sans remise, donc on tire 4 boules d'abord, donc 49-4=45, moins la bonne boule que l'on ne tire pas 45-1=44.
Après, j'ai écouté ce que m'avait dit carpediem

Posté par
Ouimagatee
re : Devoir Maison Terminal, dénombrement 31-10-20 à 17:30

Ouimagatee @ 31-10-2020 à 17:26

Bonjour, pourquoi fais tu 5*44 a la 1)c)

Est ce que ce serais pas plutôt 5*45 *1 = 225
Car on a déjà nos 4 numéros bleus gagnants, donc 49-5 = 45
Le 1 car 1 numéro rouge gagnant

Et enfin le *5 car on a 5 position possible pour le 5 ème nombre a tiré :

45 Bleu Bleu Bleu Bleu
Bleu 45 Bleu Bleu Bleu
Bleu Bleu 45 Bleu Bleu
Bleu Bleu Bleu 45 Bleu
BLEU BLEU BLEU BLEU 45

(le 45 représentant les 45 possibilité restante pour le nombre a tiré comme expliqué ci dessus)

On suit le même raisonnement pour la 1d) tout en faisant *9.



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