Salut tout le monde, je suis bloquée sur un exo, je vois pas le bout du tunnel!
Si quelqu'un a une idée, un conseil... Je suis preneuse! Merci d'avance!

Maths terminale S


L'objectif est de démontrer que, pour tout réel x positif, on a 1+(x/2)-(x²/8)≤√(x+1)≤1+(x/2)-(x²/8)+(x^3/16). Soient f, g et h les fonctions définies sur [0; +infini[ respectivement par f(x)=√(x+1), g(x)=f(x)-1-(x/2)+(x²/8) et h(x)=g(x)-(x^3/16)
Dans l'exercice, on admettra la dérivabilité des fonctions f, g et h et de leurs dérivées successives sur [0; +infini[.

1)a) Calculer f'''(x) puis démontrer que pour tout x0, g'''(x)=3/[8(x+1)²√(x+1))]. Déterminer alors les variations de g" sur [0; +infini[

Ma réponse :
f(x)=√(x+1)
f'(x)= 1/(2√(x+1))
f''(x)= -(1/4)*√(x+1)/(x+1)²)
f'''(x)= 3/[8(x+1)²√(x+1))]

Puis  pour g(x)
g(x)=f(x)-1-(x/2)+(x²/8)
g'(x)= f'(x)-(1/2)+(1/4)x
g''(x)= f''(x)+(1/4)
g'''(x)= f'''(x)

g'''(x)est strictement positive sur [0; +infini[ donc g''(x) est croissante sur [0; +infini[.


b) Calculer g''(0) et déterminer le signe de g'(x ) puis les variations de g' et enfin le signe de g(x) sur [0; +infini[

Ma réponse :
g''(0)=0
g''(x) est croissante sur [0; +infini[ et g''(0)=0 alors logiquement g''(x) est strictement positive.
Comme g''(x) est strictement positive alors g'(x) est croissante sur [0; +infini[.
Comme g'(x) est croissante sur  [0; +infini[ et g'(0)=0 alors g'(x) est positive sur [0; +infini[ je peux dire que g(x) est croissante sur [0; +[. Comme g(0)=0 et g(x) croissante sur  [0; +infini[je conclue que g(x) est positive sur  [0; +infini[.

2) Déterminer le signe de h(x) sur [0; +[.
Ma réponse :
Là je n'y arrive pas.
Je sais que je dois suivre le même shéma qu'à la question précédente, mais je bloque dans les calculs.
Je trouve h'''(x) = (3/2(x+1)^4 )- (3/8), mais je ne suis pas sûre.


3)Conclure sur la question de départ.
Ma réponse : Je sais que les inégalités trouvées dans le 1 et le 2 doivent m'aider à retrouver l'inégalité de l'énoncé, mais je bloque encore... Peut être car mon résultat précédent est faux.

4) Application. Justifier qu'une calculatrice utilisant 15 chiffres significatifs donnera 1+(a/2)-(a²/8) comme valeur du nombre (a+1) lorsque le nombre a est inférieur à 2.5*10^-5. Vérifier ce résultat à la calculatrice.