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Devoir n°2

Posté par
lexia15
25-12-17 à 13:32

Bonjour, j'ai un devoir maison à rendre où j'ai un peu de mal à répondre aux diverses questions. J'aimerais si possible un peu d'aide.
Voici le sujet :

Pour tout nombre réel a, on note ha, la fonction définie sur R par
ha(x)= (ax+1/2)/ex.
1)a. Déterminer la limite de ha en +.
b. Suivant les valeurs du nombre réel a, déterminer la limite de ha en -.
2)a. Démontrer que pour tout nombre réel x,
h'a(x) = (-ax+a-1/2)/ex
b. Démontrer que pour tout nombre réel a0, ha admet un extremum pour une valeur de x que l'on déterminera en fonction de a.
3) Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note Ca la courbe représentative de la fonction ha.
Ci-dessous, on a représenté les courbes Ca pour cinq valeurs de a : -2 ; 0 ; 1/4 ; 1 ; 2.

Déterminer pour chacune des courbes Ca, tracées, la valeur de acorrespondante en justifiant les réponses.

Je vous remercie d'avance de votre aide !!

Devoir n°2

Posté par
ThierryPoma
re : Devoir n°2 25-12-17 à 14:39

Bonjour,

Question classique : Où bloques-tu exactement ?

Posté par
ThierryPoma
re : Devoir n°2 25-12-17 à 14:44

Jusqu'à ce que je pose ma question, tu étais connecté ; et là plus rien. Es-tu venu chercher une réponse sans rien comprendre ?

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 25-12-17 à 14:59

Je suis désolé ! Je suis toujours connectée il y a juste mon internet qui beugue de temps à autre !

Dans la première question où il nous demande de calculer la limite de ha en +, j'ai fait la limite et j'ai trouvé 0. Est-ce correct?

Pour le petit b. de la question 1, faut-il faire les limites pour a0, pour a=0 et pour a0, pour pouvoir déterminer la limite en - de ha?

merci d'avance!

Posté par
ThierryPoma
re : Devoir n°2 25-12-17 à 15:05

1) a) Pourquoi est-ce 0 ? C'est très important de le justifier...
b) Tu es sur la bonne voie.

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 25-12-17 à 15:11

1)a. C'est 0 parce que lim de x qui tend vers + de ax+1/2 =+ et
lim de x qui tend vers + de 1/ex=0
d'où lim de x qui tend vers + de ha(x) = 0
b) Pour lim de ha en - c'est donc lim en - ha =-?

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 25-12-17 à 15:11

je ne suis pas très sure pour la b. !!

Posté par
ThierryPoma
re : Devoir n°2 25-12-17 à 15:13

J'ai bien fait de te poser la question pour la a), car ta justification est fausse.

Posté par
ThierryPoma
re : Devoir n°2 25-12-17 à 15:16

Tu auras soin de remarquer que ta justification pour le a) te conduit à un cas d'indétermination (sauf pour a=0 !) qui ne semble pas te gêner.

Il y a une façon de justifier plus simple et qui conduit au résultat voulu, pourvu que l'on connaisse une certaine limite....

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 25-12-17 à 15:17

je suppose que pour la a) ce qui est faux est
lim de ha qui tend vers + ax+1/2 , non?!
et pour ce qui en est de la b) ??!

Posté par
ThierryPoma
re : Devoir n°2 25-12-17 à 15:31

Je perds patience... L'on a

\lim\limits_{x\to+\infty}h_a(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{a\,x+\frac{1}{2}}{x}\times\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{a\,x+\frac{1}{2}}{x}\times\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\frac{e^x}{x}}=0

car

\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{a\,x+\frac{1}{2}}{x}=\left\{\begin{array}{lllll}0&\text{si }a=0\\a&\text{sinon.}\end{array}\right.\mbox{ et }\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=\cdots

J'ai détaillé... pour que tu comprennes bien. Tu dois avoir dans ton cours un résultat plus général.

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 25-12-17 à 15:35

je comprends mieux oui ! merci
donc à la fin lim de x qui tends vers + x/e^x=+?
C'est une ROC que j'avais écrit dans mon cours!

donc pour le petit b.
on a lim de x qui tend vers - de ha(x) =+
c'est bien cela?

Posté par
ThierryPoma
re : Devoir n°2 25-12-17 à 15:42

Citation :
lim de x qui tends vers + x/e^x=+


Tu vas bien réviser ton cours et ensuite tu reviens pour le reste. Je suis certain qu'un autre intervenant se fera un plaisir de te répondre.

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 25-12-17 à 15:50

D'accord merci de votre aide !

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 25-12-17 à 19:46

est-ce que quelqu'un pourrait-il m'aider à résoudre mon problème de mathématiques s'il vous plaît ?
merci d'avance !

Posté par
Jezebeth
re : Devoir n°2 25-12-17 à 21:30

Bonsoir,

Il ne faut pas attendre passivement que quelqu'un prenne la suite de ThierryPoma et te fasse ton exercice... d'ailleurs il est probable que ça n'arrive pas. As-tu compris ce qu'il t'a expliqué à présent ? Si tu as revu (ou découvert) ton cours après son message, tu as bien dû t'apercevoir des horreurs que tu as écrites : quelles sont-elles ? corrige-les et rédige la justification, on te dira si c'est bon.

(PS : "0 si a=0 et a sinon"....... )

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 25-12-17 à 22:15

Je dois admettre que en effet je n'ai pas trop compris et mon cours ne m'explique pas beaucoup sur cela, malheureusement! Donc je ne sais pas trop comment m'y prendre mais je vais quand même essayer !
donc on a

lim x qui tend vers + de ha(x) = lim x->+ (ax+1/2)/x * lim de x-> + de (e^x)/x

si a=0 alors
lim (ax+1/2)/x=0 car lim x->0 de 1/x=0 et lim x->0 de ax+1/2=0
de plus lim de x qui tend vers 0 de e^x/x=+


si a>0 alors
lim (ax+1/2)/x=+
car lim x->+ de 1/x=+ et lim de (ax+1/2)=+
et lim de x->+ de e^x/x=+


C'est bien cela? Parce que je crois que je me suis encore trompée ! Merci de m'aider et si possible de m'expliquer !

Posté par
Jezebeth
re : Devoir n°2 25-12-17 à 22:25

Effectivement... j'ai l'impression que tu écris un peu n'importe quoi peut-être dans l'espoir que ça fonctionne...
Clairement la limite en 0 et ax+1/2 il n'y a aucune raison que ça fasse 0, ce serait bien que tu t'en rendes compte tout(e) seul(e)... D'ailleurs je ne comprends pas pourquoi tu parles de limites en 0.
Et cette disjonction sur a est inutile aussi.

On ne peut pas conclure directement sur la limite en +inf de (ax+1/2)/e^x car le numérateur va tendre vers + ou - l'infini (en fonction du signe de a) et le dénominateur tend vers +inf (étude de la fonction exp).
Il faut donc dégager l'indétermination, c'est classique comme problème sur les limites. Par exemple en divisant par x au dénominateur et au numérateur (pour x assez grand, on aura x non nul) :

h_a(x)=\frac{a+\frac{1}{2x}}{\frac{e^x}{x}}

Le numérateur tend vers a, le dénominateur tend vers +inf (théorème des croissances comparées), donc le tout tend vers 0.

Posté par
Jezebeth
re : Devoir n°2 25-12-17 à 22:29

Précisions auxquelles j'ai pensées après coup au cas où tu ne comprennes toujours pas :

- on ne peut pas conclure directement : on a une forme indéterminée (+-inf/inf)

- "le tout tend vers 0" comme produit d'une fonction bornée au voisinage de +inf (c'est a+1/2x qui tend vers a, a étant un réel fixé) et d'une fonction tendant vers 0 (l'inverse de exp(x)/x, qui tend vers +inf)

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 25-12-17 à 22:37

Je vois pourquoi j'avais autant de mal ! c'était à cause de la forme indéterminée ! je l'avais mal effectuée lors de mon exercice et après ça a un peu échoué !

En revanche j'ai une question : quand vous dites théorème des croissances comparées vous parlez du théorème de comparaison, n'est ce pas? Parce que moi je n'ai qu'appris celui-ci, celui de l'encadrement et le théorème des valeurs intermédiaires!

Quand au petit b. cela dépendant de la valeur de a, enfin si a est positif, négatif ou nul. C'est bien cela non?

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 25-12-17 à 22:37

merci d'avance !

Posté par
Jezebeth
re : Devoir n°2 25-12-17 à 22:40

Le théorème de comparaison (rencontré aussi sous les noms de "théorème de l'étau" ou "théorème des gendarmes") n'a aucun rapport. Je parle bien du théorème des croissances comparées, il figure normalement dans ton cours sur les limites de fonctions. (Comparaison exp-puissances au voisinage de +inf en l'occurrence). Cherche sur wiki si tu as un doute
Pour le b oui bien sûr, de toute façon ils te demandent une réponse en fonction de a donc a propri le résultat va dépendre du signe.

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 28-12-17 à 17:36

Je voudrais tout d'abord m'excuser quand à mon retard sur la réponse (problème d'ordi). Ensuite, je tiens à dire que j'ai fait certaines recherches sur le "théorème des croissances comparées" et je crois avoir compris.

Pour continuer, vu que pour le petit b. du grand 1) il faut faire en fonction de a alors on a :

lim de x-> - de (ax+1/2)/e^x  donne forme indéterminée, donc on la dégage

d'où

lim de x->- de (ax+1/2)/e^x = lim de (ax+1/2)/x * x/e^x
= lim de (ax+1/2)/x *1/(e^x/x)
=+ car

lim de (ax+1/2)/x = a  si a<0
=0 si a=0

et car lim de 1(e^x/x)= -.

Est-ce comme cela ou est-ce que je dois m'y prendre autrement?
Merci d'avance pour ce coup de main !

Posté par
Jezebeth
re : Devoir n°2 28-12-17 à 17:41

Bonsoir
Tu n'as toujours pas compris le cours... Il n'y a pas de forme indéterminée en -\infty.

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 28-12-17 à 17:56

non il y a en -inf/-inf dans le cas où lim de x->a de ha(x)0, non?

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 28-12-17 à 17:57

donc si c'est ce que je viens de dire, il faut que je prenne en compte
lim de x qui tend vers a, c'est bien cela?
merci

Posté par
Jezebeth
re : Devoir n°2 28-12-17 à 17:59

Mais non... On te demande la limite en -\infty pas en a !

\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{1}{e^x}=...

\lim_{x\rightarrow -\infty }ax+\frac{1}{2}=...

Et faire le produit.

Posté par
malou Webmaster
re : Devoir n°2 28-12-17 à 17:59

lexia15 @ 28-12-2017 à 17:56

non il y a en -inf/-inf dans le cas où lim de x->a de ha(x)0, non?

charabia complet

en -
limite de ax+1/2

limite de e^x

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 28-12-17 à 18:06

donc limite de ax+1/2 en -inf = -inf
et lim de e^x en -inf = 0
c'est bien cela?

Posté par
Jezebeth
re : Devoir n°2 28-12-17 à 18:06

Non. Et la règle des signes ?

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 28-12-17 à 18:06

et donc si je multiplie les deux on a à la fin
la lim qui est égale à 0 non?

Posté par
Jezebeth
re : Devoir n°2 28-12-17 à 18:08

N'importe quoi.

Au lieu de dire des âneries reprends calmement ton cours puis ton exercice, demande-toi ce qu'il faut démontrer et comment y arriver. (sachant qu'on t'a donné 95% des indications...)

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 28-12-17 à 18:13

donc si j'ai bien compris : il faut que je démontre la lim en -inf de e^x c'est à dire la ROC ? Car là je n'ai pas donné toutes les informations ! très bien je vais donc le faire !

Posté par
Jezebeth
re : Devoir n°2 28-12-17 à 18:15

... Mais enfin ! la limite en -inf de e^x c'est 0 oui on est d'accord tu ne vas pas le redémontrer à chaque fois, ce n'est pas ce qui est demandé, mais ton résultat est faux !

C'est bien sûr ta limite de ax+1/2 qui ne va pas...

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 28-12-17 à 18:18

donc lim x-> -inf  de ha(x)= lim x-> -inf de (ax +1/2)/e^x
=lim x-> -inf de ax+1/2 * lim e^x

lim ax+1/2 = -inf car
lim x-> -inf  de x= -inf

et lim de e^x = 0

car En faisant le changement de variable de  X = −x,
on a donc  lim x->−∞ e^x = lim X->+∞ e^−X
= lim X->+∞ 1/ e^X = 0

c'est bien cela?

Posté par
malou Webmaster
re : Devoir n°2 28-12-17 à 18:19

Citation :
lim ax+1/2 = -inf car
lim x-> -inf de x= -inf


faux !!!!!!!!!!!!!
que fais-tu de ton coefficient a ???

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 28-12-17 à 18:20

ah je vois  ! dsl je n'ai pas pu voir le message !
donc on
lim x->-inf de ax +1/2 = +inf si a>0 et -inf si a<0

c'est cela?

Posté par
Jezebeth
re : Devoir n°2 28-12-17 à 18:21

Citation :
lim x-> -inf de (ax +1/2)/e^x
=lim x-> -inf de ax+1/2 * lim e^x

comment on peut écrire des énormités pareilles ??

C'est toujours au même niveau, désolé mais j'arrête de répondre pour aujourd'hui, tu ne sais pas ton cours.

Posté par
malou Webmaster
re : Devoir n°2 28-12-17 à 18:23

Citation :
ah je vois ! dsl je n'ai pas pu voir le message !

évidemment, tu mets 3 messages à la minute....sans réflexion, sans passer par le papier entre deux messages....

donc, tu apprends ton cours
tu fais ton exo de manière détaillée sur ta feuille
et ensuite seulement tu dis comment tu as rédigé

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 28-12-17 à 18:26

dsl je me suis un peu précipité en écrivant sur l'ordi c'est :
lim x-> -inf de (ax +1/2)/e^x
=lim x-> -inf de (ax+1/2)/x * lim 1/(x/e^x )

mais c'était pour la forme indéterminé et je n'en est pas besoin donc cela n'a rien à avoir !
c'est d'avant cette question !
dsl je m'étais un peu perdue c'est donc :

lim x-> -inf de (ax +1/2)/e^x
=( lim x-> -inf de ax+1/2)/(lim e^x)

je crois que là c'est juste (j'ai un peu abrégé le x qui tend vers - inf cela faisait un peu lourd) !

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 28-12-17 à 18:26

merci de me l'avoir montré je n'avais pas remarqué ! mais du coup
la lim de ax+1/2 est juste?

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 28-12-17 à 18:28

très bien ! je vais commencer de toute façon à le détailler mon exo dans le papier !
c'est juste que j'ai surtout du mal à m'orienter avec les infinis même si je connais mon cours !
je m'excuse

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 28-12-17 à 19:43

voilà, j'ai fais mon exercice ! pas au complet (jusqu'au 2)a) car après j'ai un peu de mal )
je vous l'envoi sous forme de photo (en principe c'est lisible sinon je récrirais tout).
J'espère que vous prendrez le temps pour voir et
Merci encore !** image supprimée ** ***conformément à Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci***

** image supprimée **

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 01-01-18 à 09:11

Tout d'abord, je tiens à m'excuser pour le scanner que j'ai réalisé (j'avais lu le règlement mais je n'avais pas compris en quoi consistait "scanner interdit"; je croyais que c'était une espèce de multipostage ou autre). Donc veillez m'excuser face à mon incompréhension du français. J'ai appris ma leçon !

Ensuite, j'ai fait ce que vous m'avez demandé (j'ai refais l'exercice, et appris mon cours même s'il est incomplet parce qu'à mon avis j'ai pas tous les théorèmes et d'autres choses )
Voici donc mon exercice refais :

1) Soit ha la fonction définie pour tout réel a, sur R par ha(x)= (ax+1/2)/ex
a.
lim de x->+ de ha(x) = lim de x->+  de (ax+1/2)/ex
=lim de x->+ de (ax+1/2)/x * x/ex
=lim de x->+ de (ax+1/2)/x * 1/(ex/x)
=0

car lim de x->+ de (ax+1/2)/x = 0 si a=0 sinon a
et on sait que lim de x->+ de ex/x=+

Donc lim x->+ de ha(x)=0

b. On a lim x->- de ha(x)= lim de x->- de (ax+1/2)/ex
=0

car lim de x->- de ax+1/2= + si a>0 sinon - si a<0
et on sait que lim de x->- de ex=0

Donc on a lim de x->- de ha(x)=0.

Ensuite, pour le petit 2)a. je n'ai eu aucun problème quand à trouver la dérivée
soit dit en passant h'a(x)= (a-ax-1/2)/ex.
J'ai bien évidemment appliqué mes propriétés sur les dérivés.

Le b. j'ai pensé que pour trouver un extremum il fallait que le signe dépende de -ax+a-1/2 mais à partir de là je bloque car je sais que si a est positif, le signe le sera aussi, et je sais que la courbe admettra un minimum, et inversement. Mais je n'ai pas la valeur de a!!
Pourriez vous m'aider, car à partir de là, je ne suis plus trop sûre et je bloque

Merci d'avance de continuer de m'aider !

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 01-01-18 à 11:05

Pourriez vous m'aider s'il vous plaît?

Posté par
malou Webmaster
re : Devoir n°2 01-01-18 à 11:39

l'étude de limite en - est toujours fausse
quand tu divises une quantité non nulle par 0+, tu vas trouver un infini, et pour savoir lequel tu dois étudier le signe du numérateur (puisque le signe du dénominateur ici est connu)

pour 2.b
tu dois résoudre h'(x)=0 et trouver x en fonction de a (cela veut dire que a restera dans le résultat )

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 01-01-18 à 12:17

je crois avoir compris pour la lim en -inf mais le problème c'est que pour trouver le signe du numérateur il me faut savoir si a est positif ou négatif non?
Dans ce cas comment je dois m'y prendre ?
Dois je faire pour lim de x qui tend vers a pour x>a ou pour x<a ?

Pour la b. j'ai un peu de mal avec le calcul
Je suppose que c'est les a qui me dérangent mais je dois retirer (je suppose) le e^x tout d'abord non?

Merci !

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 01-01-18 à 12:19

je suppose que je dois vérifier quand e^x est différent de 0 pour avoir mon ensemble de définition non?

Posté par
malou Webmaster
re : Devoir n°2 01-01-18 à 13:38

lexia15 @ 01-01-2018 à 12:19

je suppose que je dois vérifier quand e^x est différent de 0 pour avoir mon ensemble de définition non?

revois un peu ton cours sur la fonction exponentielle, cela me semble indispensable

Citation :
je crois avoir compris pour la lim en -inf mais le problème c'est que pour trouver le signe du numérateur il me faut savoir si a est positif ou négatif non?

ben oui, d'ailleurs quand tu lis bien l'énoncé de ta question, cela doit t'y faire penser

Posté par
lexia15
re : Devoir n°2 01-01-18 à 13:56

Malheureusement mes cours sont incomplets et je ne les aient pas bien compris !
Si je vois la représentation graphique de ma courbe, je vois que la lim en -inf est +inf mais comment je dois le démontrer car on ne connaît pas le signe de a, pour pouvoir démontrer que ax+1/2 est positif. On ne connaît que le signe de e^x.
Et si on fait ax+1/2=0 on trouve a=1/2*x (je crois sinon c'est 1/(2/x)).

En revanche pour la b. j'ai fait comme tu me l'as dit et j'ai trouvé
x=1/(2/-a)
Est-ce juste?

Merci !

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