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Devoir noté sur les nombres entiers: diviseur,somme des diviseur
Bonjour aujourd'hui notre professeur de mathématique nous a donné un exercice dans l'ensemble relativement simple, mais dans certaine partie de l'exercice les termes employé m'embrouille un peu et fait que je ne comprend pas certaine partie si l'ont pourrait m'aider s'il vous plait, voila les parties que je ne comprend pas :
(A titre informatife ne sachant jamais cela pourrait être utile, l'exercice commence par: Noté les diviseurs de, 8 (1,8,2,4) de 28 (1,28,2,14,4,7) de 31 de 49 et de 220 et 284 ensuite il demande la somme des diviseur pas vraiment difficile 8 somme des diviseurs = 15 ,28=56, 31=32 ,49=57 ,220 =473 et 284= 504. Ensuite il demande si les nombres sont parfait, déficient ou abondant toujours aussi simple 8 est abondant, 28 est parfait, 31 est abondant ,49 est déficient, 220 est abondant, 284 est déficient.)
Et maintenand le véritable problème commence il dit << Que remarque t-on pour les nombres 220 et 284 ? Ces deux nombres sont dits "amicaux">>. Alors même si je n'ais pas compris le terme "amicaux" j'ai quand même essayé de répondre mais il y a peut de chance que ce soit cela qui est veritablement attendu comme réponse, voici ma réponse : << On remarque que les nombres 220 et 284 sont des inverse car 220 est abondant car sont double 440 est plus petit que la somme des diviseur qui est de 473 or 284 est déficient car sont double et plus grand que la somme de ses diviseur >>.Voila mais ce terme Amicaux en math ne me dit absolument rien.
Ensuite il dit << Le nombre 49 admet un nombre impair de diviseurs Trouve d'autres nombres qui admettent un nombre impair de diviseurs quelle remarque peut-on faire? >> voici ma réponse qui semble elle aussi être loin du comte : <<Les nombre qui admettent un nombre impaire de diviseur avec le 49 sont : 1,3,5,7,9,11,23,19,17,13...>> pour arriver a ce résultat je croyer déja de un forcément que les nombre impaire avait des diviseur impaire mais aussi que leur diviseurs entier positif n'allait pas plus loin que 2 c'est a dire quand on voulait diviser 3 par 2 cela donner des chiffres à virgules or 21 ne s'arrette pas a deux quand on peut encore le diviser par 3 sans qu'il ne donne de chiffre a virgules.
Et une dernière question de l'exercice ou je n'ais pas trouver était << Trouver la relation entre 31 et la somme des diviseur s(31) puis trouver d'autres nombres inférieur à 30 qui possèdent la même propriété.
Voila Merci d'avance.
Les nombres amis
La somme des diviseurs de 220 autres que 220 est 284.
La somme des diviseurs de 284 autres que 284 est 220.
(...)
(livre Tranmath 3e page 25)
<< Trouver la relation entre 31 et la somme des diviseur s(31) puis trouver d'autres nombres inférieur à 30 qui possèdent la même propriété.
Je propose :
s(31)=32=31+1
comme tous les nombres premiers
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 ...
Bonjour Nin et Chatof.
Tous les nombres qui ont un nombre impair de diviseurs sont des carrés parfaits et réciproquement.
Démonstration.
Supposons un nombre n et un de ses diviseurs d inférieur à sa racine carrée (peu importe que celle-ci soit entière ou non); n/d = g est un nombre entier.
g est plus grand que la racine carrée de n.
En effet, d*g = n.
Supposons que g soit inférieur ou égal à √n
On aurait d < √n; g <= √n; d*g < √n * √n; d*g < n, ce qui est faux, puisque d*g = n.
Ainsi à chaque diviseur de n inférieur à la racine carrée de n, correspond un et un seul diviseur de n supérieur à la racine carrée de n, tel que le produit des deux diviseurs est n. On forme ainsi des paires de diviseurs de n et le produit de chaque paire est n.
Par exemple avec 60, on a les paires {1;60} {2;30} {3;20} {4;15} {5;12} {6;10}; la racine carrée de 60 est entre 7 et 8 et 7 ne divise pas 60.
Qu'en est-il d'un carré parfait ? A ces paires de diviseurs, il faut ajouter la racine carrée entière de ce carré, racine qui est aussi un diviseur de ce carré et qui fait paire avec elle-même.
Dans le cas d'un carré, il y a donc des paires de diviseurs, plus un diviseur isolé : la racine carrée.
Un nombre non carré a un nombre pair de diviseurs.
Un nombre carré a un nombre impair de diviseures.
Merci plumemeteore
Pour donner le nombre de diviseur, je décompose le nombre en facteur premier
Par exemple : 360 = 2^3 * 3^2 * 5^1
Un diviseur de 360 s'écrit : 2^p * 3^q * 6^r
p=0 ou 1 ou 2 ou 3 q=0 ou 1 ou 2 r=0 ou 1
4 choix pour p 3 choix pour q 2 choix pour r
Il y a donc 4*3*2= 24 diviseur pour 360.
Si n= 2^a * 3^b * 5^c * ...
Le nombre de diviseurs est : (a+1)*(b+1)*(c+1)* ...
Pour avoir un nombre impair de diviseurs, il ne faut aucun nombre pair dans ce produit, donc a+1 b+1 c+1 … doivent être impair, donc a b c … doivent être pair. Dans ce cas n sera un produit de carré donc un carré.
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