Bonjour , pouvez vous me dire si j'ai bien répondu et compris cette exercice .

Merci à vous pour votre aide .

Implication et équivalence

Dans la langue usuel, on emploie souvent les mots <<donc>> , <<d'où>> ou des phrases sous la forme :
<<si...,alors...>> pour exprimer l'idée qu'une partie de l'énoncé est une conséquence de l'autre partie.
Par exemple : <<J'ai 40° de fièvre , donc je ne vais pas au lycée .>> ; << Si j'ai 40°de fièvre , alors je ne vais pas au lycée.>>.

De même en mathématiques , dés le collège , de tels énoncés ont été utilisés .Par exemple:
<<ABCD est un losange, donc ses diagonales sont perpendiculaires .>>

<< Si un quadrilatère est un losange , alors ce quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires .>>

Ces phrases sont vraies , car on sait qu'un losange a ses diagonales perpendiculaires ; l'hypothèse << un quadrilatère est un losange >> entraîne forcément la conclusion << ce quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires >>.

L'énoncé << Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires , alors ce quadrilatère est un losange >> est l'énoncé réciproque de l'énoncé précédent ; il est faux car l'hypothèse << un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires >> ne suffit pas pour pouvoir affirmer que ce quadrilatère est un losange : on peut faire un dessin pour s'en convaincre !

On dit que la condition << un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires >> est une condition nécessaire pour pouvoir affirmer que ce quadrilatère est un losange, mais elle n'est pas suffisante .

Pour prouver qu'un énoncé de la forme << si P , alors Q>> est vrai , on peut chercher un raisonnement qui permet , à partir de l'hypothèse P , d'obtenir la conclusion Q . On dit que P implique Q et l'on note P Q.

Pour prouver qu'un énoncé de la forme << si P , alors Q >> est faux , on peut chercher un contre -exemple pour lequel la propriété P est vrai et la propriété Q est fausse .

L'énoncé réciproque d'un énoncé de la forme << si P, alors Q >> , est l'énoncé << si Q , alors P >> , noté P Q.

Lorsque les énoncés << si p, alors Q >> et << si Q , alors P >> sont tous les deux vrais , on dit que ces énoncés sont équivalents et l'on note P Q .

Pour chacune des phrases suivantes , dire si cette phrase est vrai ou fausse . Ecrire l'énoncé réciproque de cette phrase et dire s'il est vrai ou faux . Dans quel cas y a t-il équivalence ? Si une affirmation est fausse , donner un contre-exemple .

1. Si a est strictement supérieur à 3 , alors a est supérieur à 0 .

2. Si x² = 4 , alors x= 2.

3. Si ab = 0 , alors a =0 ou b=0.

4. Si ABC est un triangle équilatéral , alors ABC  est un triangle isocèle .

5. Si ABCD est un rectangle , alors ABCD est un parallélogramme .

6. Si A, B et C sont trois points distincts tels que AB² +AC² = BC² , alors le triangle ABC est un triangle rectangle en A .

Voici mes réponses :

1. vrai
2. vrai
3. faux.  a et b = 0.
4. faux. Un triangle équilatéral à 3 côtés égaux , alors qu'un triangle isocèle à 2 côtes égaux.
5. faux. Un triangle rectangle à 4 angles droit .
6. vrai.