Exercice 1 : Etant donné un triangle ABC, on sait que le centre de gravité G, point de concours des médianes du triangle
Est isobarycentre des sommets du triangle. On suppose alors que tous les angles du triangles sont aigus On voudrait également définir O et H, respectivement le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre comme barycentres de A, B et C, avec des coefficients à déterminer.
0) Question préliminaire : Montrer que tout point P d'un segment [QR] est barycentre du système : (Q;PR),(R;PQ)  .
1) Soit A_1le point d'intersection de la droite (OA) et du segment [BC] .
   a) Déduire de la question 0) que A_1est barycentre de (B;Aire(A_1 OC)),(C;Aire(A_1 OB)) puis du système   (B;Aire(A_1 AC)),(C;Aire(A_1 AB)). Pour cela on pourra utiliser la propriété d'homogénéité.
b) Etablir alors à partir du a) que A_1est barycentre de (B;Aire(AOC)),(C;Aire(AOB)).
2) En désignant par B_1 et C_1les points d'intersection de (OB) et [AC] d'une part puis de (OC) et [AB] d'autre part, proposer des systèmes de points pondérés à l'image du 1)b) dont B_1 et C_1 sont respectivement les barycentres.
3) Montrer que le barycentre du système (A;Aire(OBC)),(B;Aire(AOC)),(C;Aire(AOB)) est confondu avec le point O. On pourra pour cette question utiliser le théorème d'associativité.
4) En vous inspirant de ce qui a été fait précédemment, établir que H est barycentre du système (A;tanA ̂ ),(B;tanB ̂ ) et
(C;tanC ̂ ).
5) Le résultat obtenu au 3) est-il vrai pour tout point M intérieur au triangle, autre que le point O ?
6) Les points O, G et H sont-ils alignés ?




Pourriez- vous m'aider s'il vous plait ? Me donner des pistes.
Merci d'avance