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Devoir sur les coûts et recettes marginaux
Bonsoir,
j'ai un dm à faire en maths qui se rapproche plutôt de l'économie... Je vous donne l'énoncé puis vous explique ce que j'ai déjà fait et sur quoi je bloque :
Pour une entreprise E dont la production peut varier de 0 à 300 unités, le cout total de fabrication de x unités, exprimé en euros, est donné par la fonction:
C(x)=(1/30)x^3 - 15x² + 2500x
On apelle "cout marginal" la dépense occasionné par la production d'un objet supplémentaire; on modélise ce cout marginal par Cm(x)=C ' (x), ou C ' est la dérivée de C
On suppose que l'entreprise est en situation de monopole, ce qui a pour effet que la demande est uniquement en fonction du prix.Quand x objets ( demande, en unités) sont vendus, chacun l'est au prix unitaire
p(x)= -(45/8)x + 2750
1) calculez la recette toyale R(x) pour la vente de x unités
2)On appelle recette marginale l'augmentation de recette procurée par la vente d'un objet supplémentaire: on modélise cette recette marginale par Rm(x) = R' (x), ou R' est la fonction déeivée de R
Pour quelle valeur de x la recette marginale est-elle égale au cout marginal?
3)Montrez que le benefice pour la production et la vente de x unités est donné par:
B(x)=-( 1/30)x^3 + (75/8)x² +250x
Calculez B' (x) , où B' représente la fonction dérivée de B . Déduisez-en que le bénéfice est maximal quand la recette marginale est égale au cout marginale
Que vaut ce bénéfice maximal?
j'ai donc fait les questions 1 et 2, mais je bloque sur la troisième : j'ai réussi à prouver que le bénéfice était égal à -( 1/30)x^3 + (75/8)x² +250x , j'ai calculé sa dérivée (B'(x) = -1/10x ² + 75/4x + 250 si je ne me suis pas trompée ...)
mais à partir de là, je n'arrive pas à en déduire que le bénéfice est maximal quand la recette marginale est égale au cout marginal. Je vois bien que l'équation de Rm = Cm est la même que celle de B'(x), mais je ne vois pas comment prouver cela...
merci d'avance 
Le bénéfice est maximal, quand la dérivée de la fonction B(x) s'annule, donc quand on a :
-(1/10)*x² + (75/4)*x + 250 = 0
et c'est bien l'équation qui correspond à l'égalité :
Recette marginale = Coût marginal !
Oui, ça je l'avais remarqué mais je ne comprends pas le calcul que je dois faire... Comment prouver que l'équation de B'(x) est égale à 0 ?
Je viens de te dire :
Le bénéfice est maximal, quand la dérivée de la fonction B(x) s'annule, donc quand on a :
-(1/10)*x² + (75/4)*x + 250 = 0 (1)
et d'autre part, pour avoir R marg = Cout marg, on écrit :
(1/10)*x² - (30)*x + 2500 = -(45/4)*x + 2500
et cette égalité , une fois réduite, s'écrit : comme l'équation ci-dessus !
Il n'y a donc pas de calcul à faire . L'égalité est démontrée par le fait même !
*se sent idiote* c'est bon, j'ai compris, c'est tout bête en fait ! Merci beaucoup d'avoir plus détaillé
Merci pour ton aide !
Bonne soirée
bonsoir, j'ai un nouveau problème sur cet exercice...
dans le 2. je dois trouver le résultat de cm = rm
or, en le faisant, je trouve -1/10 x ² + 75/4 x + 250 = 0
en faisant delta, je trouve x = -12,5 et x = 200
mais, j'ai remarqué que si j'avais retourné l'équation et écrit : 0 = 1/10 x ² - 75/4 x - 250
en faisant le delta je trouve x = 12,5 et x = -200 !!
pouvez vous m'aider :s ? car je ne sais pas lequel est juste...
-1/10 x ² + 75/4 x + 250 = 0
Delta : (75/4)² - 4*(-1/10)*(250) = (75/4)² + 100
1/10 x ² - 75/4 x - 250 = 0
Delta : (-75/4)² - 4*(1/10)*(-250) = (75/4)² + 100 ---> IDEM
1er cas : - 75/4 
V (Delta) / - 2/10
2me cas : 75/4 V (Delta) / 2/10
---> même résultat !
oui, j'ai fini par retrouver mon erreur toute seule... j'avais mis -b + racine de delta / - 2a !
merci beaucoup
Bonjour,
jai le même exercice à faire pour lundi. Je voudrais voir tes réponses des questions 1 et 2, car ne savant pas vraiment à quoi correspond la recette totale je ne sais pas vraiment comment m'y prendre...
Salut,
Je ne pense pas que Hedhehog te réponde (déconnectée depuis plus de 10 ans).
De toutes façons, on ne donne pas les réponses sur ce site, on répond aux questions, on aide...
Dis ce que tu as fait, et où tu bloques précisément.
ah oui oups 10 ans ca fait beaucoup
1) je pense que la recette est égale au prix multiplié par x donc
R(x)=p(x)*x
R(x)= ((-45/8)x + 2750)*x
R(x)= (-45/8)x^2 + 2750x
je reste néanmoins hésitante vis a vis de cette réponse car on parle aussi de la dérivée de C(x) je me demande si on peut en avoir besoin...
2) Du coup comme Rm(x)=R'(x), je voudrais confirmer la réponse précédente.
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