Niveau première

devoir sur les suites récurrentes

Posté par fanz (invité) 29-01-05 à 19:51

Soit ( $u_n$ ), la suite définie par :
U(o)= 2 et $u_{n+1}$ = $u_n$ / $u_n$ +2 , pour tout entier n.

1) a) Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, tracer la courbe représentative C de la fonction f définie sur l'intervalle ]O;+ $\infty$ [ par f(x) = x/x+2

b) En utilisant la courbe C et la droite D d'équation y=x,
représenter les premiers termes de la suite ( $u_n$ ) sur l'axe des abscisses.

2) a) Démontrer que, pour tout réel x de l'intervalle ]0;+ $\infty$ [, f(x) appartient à l'intervalle ]0;+ $\infty$ [.

b) En déduire que la suite ( $u_n$ ) est définie pour tout entier n , et que $u_n$ > 0.

3) a) Démontrer que, pour tout entier n, $u_{n+1}$ / $u_n$ $\le$ 1/2.
b) En remarquant que $u_n$ /U(0)= $u_n/U(n-1)\times U(n-1)$ $/U(n-2)\times...$ $\times$ U(1)/U(0), ,
Démontrer que $u_n$ $\le$ (1/2)^(n-1)
c) La suite ( $u_n$ ) est-elle convergente ? Justifier

Merci de votre aide

Posté par dolphie (invité)re : devoir sur les suites récurrentes 29-01-05 à 20:04

1. a) tu es capable de tracer la courbe je pense!
b) sais-tu le faire? en escalier...

2.a) Si x > 0 alors x+2 > 2, donc x/(x+2) > 0
on en déduit que l'image de ]0,+[ par f appartient à ]0,+[. Autrement dit, l'intervalle ]0,+[ est stable par f.

b) u_n+1=f(u_n).
f étant définie, continue sur ]0,+[ et cet intervalle étant stable par f, on en déduit que u_n est bien définie et pour tout n: u_n>0.

3.a) $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{u_n}{(u_n+2)u_n}=\frac{1}{u_n+2}$
Or, u_n > 0 pour tout n, donc u_n+2 > 2
on en déduit que $\frac{1}{u_n+2} < \frac{1}{2}$
d'ou:
$\frac{u_{n+1}}{u_n} < \frac{1}{2}$

Posté par dolphie (invité)re : devoir sur les suites récurrentes 29-01-05 à 20:12

b) $\frac{u_n}{u_0}=\frac{u_n}{u_{n-1}} \times \frac{u_{n-1}}{u_{n-2}} \times ...\times \frac{u_1}{u_0}$
Or:
$\frac{u_n}{u_{n-1}} < \frac{1}{2}$
$\frac{u_{n-1}}{u_{n-2}} < \frac{1}{2}$
$\frac{u_{n-2}}{u_{n-3}} < \frac{1}{2}$
...
$\frac{u_1}{u_0} < \frac{1}{2}$
On en déduit:
$\frac{u_n}{u_0} < (\frac{1}{2})^n$

soit:
u₀ étant positif, on peut le multiplier de chaque côté sans changer de signe:
$u_n < (\frac{1}{2})^n \times u_0$
$u_n < (\frac{1}{2})^n \times 2$
$u_n < (\frac{1}{2})^{n-1}$

c) la suite v_n définie par $v_n = (\frac{1}{2})^{n-1}$ est une suite géométrique de raison 1/2 < 1, donc converge vers 0.
et pour tout n: 0 < u_n < v_n
Donc u_n converge vers 0.

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