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devoir sur ln

Posté par
paprika02 30-01-19 à 23:37

Bonsoir, j'aurais besoin d'aide pour un exercice sur le logarithme neperien que je trouve vraiment complique ,si quelqu'un pourrais m'aider ca serais vraiment formidable merci de votre aide
sujet:
On definit la fonction d(x)=ln x - (x-1)+\frac{(x-1)^2}{2}
1.etudier les variations de la fonction d sur [1;+[ et en deduire le signe de d(x)

J'ai derive la fonction et je trouve d'(x)=\frac{-x^2-3x+2}{2x}
pour les variations  je trouve qu'elle est decroissante sur [1;+[
mais ppour le signe de d(x) j'ai oublie comment on fait


2.Proceder de meme avec la fonction definie sur [1;+[ par (x)=ln x - (x-1)

Pour la derivee j'ai trouve '(x)=\frac{1}{x}-1 et j'ai trouve qu'elle ete aussi decroissante sur [1;+[


3.en deduire  que pour tout x superieur a 1,\frac{-(x-1^2)}{2}\leq ln x-(x-1)\leq 0 et \left|lnx - (x-1) \right|\leq \frac{(x-1)^2}{2}

4.Il en resulte que par exemple 0.00001 est une valeur approchee de ln (1.00001).Dans cet exemple donner un majorant de l'erreur c'est-a-dire un nombre plus grand que la valeur absolue de la difference entre la valeur exacte et la valeur approchee.

Pour les deux dernieres questions je bloque je ne sais pas comment proceder si quelqun pourrais m'aider sil vous plait ca serais vraiment gentil
merci d'avance

Posté par
heklare : devoir sur ln 30-01-19 à 23:46

Bonsoir

je n'ai pas la même dérivée  d'(x)= \dfrac{1}{x}-1+x-1= \dfrac{x^2-2x+1}{x}

Posté par
paprika02re : devoir sur ln 31-01-19 à 00:04

Ah oui desole apres l'avoir refait une deuxieme fois je retombe sur la meme chose je pense que jai du faire une erreur de signe merci

Posté par
paprika02re : devoir sur ln 31-01-19 à 00:09

et donc pour le tableau de variation on retrouve qu'elle est croissante sur [1;+[

Posté par
heklare : devoir sur ln 31-01-19 à 00:20

d est alors croissante  sur [1 ~;~+\infty[
devoir sur ln

que vaut d(1) ?

2 oui  décroissante sur [1~;~+\infty[   \sigma(1)=0

de 1 la minoration, de 2 la majoration

Posté par
paprika02re : devoir sur ln 31-01-19 à 00:27

si je ne me trompe pas d(1)=0 mais je ne comprend pas le lien avec la minoration et la majoration.Vous voulez dire que d est minore par 0 ?

Posté par
heklare : devoir sur ln 31-01-19 à 00:32

oui d est une fonction strictement croissante

si x\geqslant 1  alors d(x)\geqslant d(1) définition d'une fonction croissante sur un intervalle

Posté par
paprika02re : devoir sur ln 31-01-19 à 00:48

grace a votre aide j'arrive a continuer et a faire ceci mais je ne suis pas tres sur

x\geq 1                                alors                       d(x)\geq d(1)

donc             ln x -(x-1) +\frac{(x-1)^2}{2}\geq 0

alors             ln x -(x-1) \geq -\frac{(x-1)^2}{2}

et la je vois plus quoi faire ,pourriez vous me donner quelque pistes sil vous plait?

Posté par
heklare : devoir sur ln 31-01-19 à 00:55

c'est bien ce que l'on veut montrer  donc rien à faire

que l'on dise que \ln x-(x-1) \geqslant  \dfrac{-(x-1)^2}{2} ou que

  \dfrac{-(x-1)^2}{2}\leqslant \ln x-(x-1)  n'est ce pas identique ?

maintenant on se sert de 2 pour la majoration

un antislash devant ln  pour que l'écriture soit correcte  \ln

Posté par
paprika02re : devoir sur ln 31-01-19 à 01:08

haha oui c'est vrai alors pour la majoration on a :


(1)=0 et comme elle est decroissante alors (1)(x)

alors 0 lnx-(x-1) et donc
  \dfrac{-(x-1)^2}{2}\leqslant \ln x-(x-1)0

Posté par
paprika02re : devoir sur ln 31-01-19 à 01:10

ah desole pour l'erreur de presentation je re ecrit

0\geq ln x -(x-1) \geq -\frac{(x-1)^2}{2}

voila

Posté par
heklare : devoir sur ln 31-01-19 à 01:19

0 \leqslant \dfrac{(x-1)^2}{2}

donc -\dfrac{(x-1)^2}{2}\leqslant \ln x-(x-1)\leqslant \dfrac{(x-1)^2}{2}

  soit \left|\ln x -(x-1)\right| \leqslant \dfrac{(x-1)^2}{2}

Posté par
heklare : devoir sur ln 31-01-19 à 01:28

je vais arrêter   pour ce soir


dernière question   utilisez l'inégalité précédente  et appliquez la à x =1,00001

Posté par
paprika02re : devoir sur ln 31-01-19 à 01:29

merci beaucoup de votre aide l'exercice maintenant ne semble pas si difficile que ca je vous remercie vraiment de votre aide !!!


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