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Devoirs, suites

Posté par
Yasmin45
02-10-21 à 09:55

Bonjour, j'ai un devoir à rendre, mais pour le faire je n'arrive pas à trouver la méthode car nous n'avons pas vu de suite aussi complexe en cours. Si quelqu'un pouvait m'apporter son aide ça serait génial 😁

Voici l'énoncé
Exercice 2:

Au 1 janvier 2010, une ville comptait 25 000 habitants et sa banlieue en comptait 15000. On a observé que, chaque année, la ville perdait 20% de sa population au profit de la banlieue, mais qu'ell gagnait d'autre part 20% de la population de la banlieue. On note a, et b, les nombres d'habitants respectifs de la ville et de la banlieue au cours de l'année 2010+ n.

Partie A: Expressions de An+1, et Bn+1 en fonction de An  et Bn:

1. Donner Ao et Bo

2. Calculer A1 ,B1, A2, et B2
3.
a. Justifier, à l'aide de l'énoncé, que pour tout entier naturel n,

an+1=0,8An+0,2Bn

b. Exprimer, à l'aide  de l'énoncé,Bn+1
en fonction de Bn et de An.

4. a. Quel est le rôle de l'algorithme ci-contre ?
b. Coder cet algorithme en une fonction Python. 5. Faire fonctionner le programme (par exemple sur Capytale) et interpréter le résultat affiché par une phrase portant sur les populations des villes A et B.

ALGORITHME :
« a, b, c sont des nombres réels n est un nombre entier naturel

Traitement: Affecter à a la valeur 25.000

Affecter à bla valeur 15.000 Affecter à n la valeur 0

Tant que a-b>10

Affecter à c la valeur a Affecter à a la valeur 0,8 xa+02xb Affecter à b la valeur 0,8xb+02xc

Affecter à n la valeur n + 1

Fin Tant que Afficher n

Sortie:  Afficher n »

Il y a une partie 2 mais je me consacre sur la première pour le moment
Voici mes réponses
1. Ao=25000  et Bo=15000
2. J'utilise le coefficient multiplicateur pour l'augmentation de 20% soit x0,8
Concernant l'énoncé d'après ce que j'ai compris chaque année 20% de la ville par en banlieue mais 20% de la banlieue vient en ville
Mais la suite An dépendrait de Bn et je ne sais pas comment faire je suis bloqué ici

Merci de l'aide que vous pourrez m'apporter ☺️

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 10:48

bonjour,

1. Ao=25000  et Bo=15000  : ok

montre comment tu calcules A1

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 11:03

Pour A1 je fais
25000*0,8=20000 donc -5000
15000*0,8=12000 donc -3000

20 000+3000= 23 000
A1=23 000

Ou alors
A1= 25 000x0,8 + 20/100X15000

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 11:21


la seconde que tu donnes est plus concise:
A1= 25 000x0,8 + 20/100X15000

A1  =  0,8 * 25000   +   0,2 * 15000  = 23000
A1  =  0,8 * A0           +   0,2 B0
tu vois que tu utilises A0 et B0  pour calculer A1

à présent , calcule B1 avec ce même principe.
vas y !

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 11:34

D'accord alors j'ai fais
B1=0,8*Bo+0,2xAo
      =0,8*15000+0,2*25000
   B1  =17000

Mais je ne suis pas sure car je ne sais pas si il faut utiliser 0,2*Ao ou 0,2* A1 mais j'opterais pour 0,2*Ao pour B1 et 0,2*A1pour B2

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 11:37

B1 = 17000, parfait.

pour calculer A1, tu utilises A0 et B0,
de même pour calculer B1, tu utilises A0 et B0

à présent, tu peux calculer A2 et B2
vas y !

tu n'auras pas de mal à répondre à la question 3a, je crois.

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 11:46

Très bien merci, je m'absente un peu puis je calcule A2 et B2 et j'essaierais aussi de répondre à la question 3a je pense l'avoir compris

A tout de suite ! Et merci beaucoup de l'aide que vous m'apporter ☺️

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 11:48

je t'en prie.
je m'absente aussi.
A tout à l'heure.

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 13:33

Du coup pour la question 2 je trouve ceci

A2=0.8*A1+0.2*23 000
       = 0.8*23 000+0.2*17 000
       =21 800

B2=0.8*B1+0.2*A1
       =0.8*17 000+0.2*23 000
       =18 200

Pour la question 3a.
Ma réponse serait " Chaque année, 20%de la population de la ville va en banlieue, en utilisant le coefficient multiplicateur, cela serait x0.8que nous multiplions à 25 000 pour traduire cette augmentation. D'autre part, 20% de la population de la banlieue va en ville soit 20/100= 0.2 On multiplie donc la population de la banlieue ( 15 000) par 0.2. Sachant que la ville est décrite par la suite An et la banlieue la suite Bn, cela nous donne bien la formule suivante An+1=0.8*An+0.2*Bn"

Est-ce bon ?

Pour la 3b

J'aurais adapté la formule de cette façon:Bn+1= 0.8*Bn+0.2*An

Mais je ne suis pas sure du tout

Concernant la 4 et la 5 par contre je ne comprends pas vraiment les algorithmes





Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 13:44

A2 et B2  : OK

pour la 3a, ta phrase est un peu confuse.
pour diminuer la population de 20%, on la multiplie par 0,8  : oui, tu as raison.
ainsi, l'année suivante (en n+1), la population de la ville An est multipliée par 0,8, et on lui ajoute 20% de la population de la banlieue, soit 0,2 * Bn

Bn+1= 0.8*Bn+0.2*An  : oui, c'est ça  

qu'est ce que tu en comprends pas dans les algorithmes ?
l'algo qu'on te donne est écrit en langage naturel.
tu ne vois pas ce qu'il fait ?

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 14:05

D'accord, oui il est vrai que ma phrase n'était pas très claire merci beaucoup.
Pour l'algorithme, je ne comprends pas pourquoi l'expression a-b>10 c'est 10 qui est choisi, de plus la variable c je ne vois pas à quoi elle sert

Pour la coder en python j'aurais fais ceci

        def population ():
                a=25000
                b=15000
                n=0
                c=a
                while a-b>10
                         a=0.8*a+0.2*b
                         b=0.8*b=0.2*c
                         n=n+1
               return n

J'aurais coder la fonction ainsi, mais je ne suis pas sure, notamment pour le c

Je m'absente une petite partie de l'après-midi, à toute a l'heure
                            

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 14:50

while a-b > 10  :   au fur et à mesure des calculs, les deux populations se rapprochent. On veut que la boucle s'arrête quand la différence entre les deux sera très faible : ici 10 personnes. On aurait pu mettre 5 ou même 2.. (mais pas 0, car il y aura peut-être des arrondis qui feront qu'on n'aura pas exactement  A=B).
Tu vois ?

à quoi sert c ? on l'utilise pour garder la valeur de a.
en effet, si j'écris  par exemple :
# on veut que a devienne 2*a + b = 2*10 + 5
#    et on veut que b devienne 2*b + a = 2*5 + 10
a= 10
b=5
a = 2*a + b    ==>   là je vais calculer a=25
b= 2*b   + a  ==>  et quand je passe ici, a vaut 25, pas 10 !

donc    avant de calculer a, je le range dans c, et j'écrirai
b= 2*b + c

ici, c'est pareil,
avant de calculer a, on le range dans c.

Attention :   c=a  doit etre placé juste avant le calcul de a, dans la boucle, pas là où tu l'as mis.

nb : après l'instruction while a-b>10  il faut un ":"

l'as tu fait tourner ?
à ton avis, que fait cet algorithme ?

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 15:56

d'accord, merci oui c'est plus clair ainsi.
Je ne l'ai pas encore fait tourner mais je vais essayer  tout de suite,

Je pense que l'algorithme sert à voir au bout de combien d'année la différence entre la population de la banlieue et de la ville sera 10

Mais je n'en suis pas certaine, j'essaie sur python et vous redis

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 16:09

Alors j'ai codé la fonction python mais sur une autre plateforme "capitale"
Par contre, je ne sais pas comment obtenir le résultat  je vous ai fais une capture pour que vous puissiez voir

Devoirs, suites

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 17:15

excuse ma réponse tardive, je n'avais pas vu ton message.

ton algo :
le   c=a   est mal placé

tu ne l'as pas mis juste avant le calcul de a  dans la boucle..
je crois que tu n'as pas compris à quoi il sert.
tu dois le placer entre les lignes 6 et 7.

et tu as écrit  n=15000  au départ ==>   mets plutot n=0

tu peux executer ton algorithme  en tapant
print(population())

cet algorithme te dit en effet dans combien d'années les populations seront égales, à 10 personnes près.

je m'absente.
Je reviens vers 19 heures.

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 17:38

D'accord pas de soucis, j'ai réajusté le programme python je trouve 14

Pour la dernière question de la partie.

J'aurais mis "Grâce au programme python , nous constatons que la population de la ville et la banlieue serait égale a 10 personnes près au bout de 14 ans

Merci beaucoup de votre aide!! du coup je pense que pour la 1ère partie j'ai compris grâce à vous, je vous met l'énoncé ainsi que ce que j'ai compris

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 18:02

Partie B: Expressions de An et de Bn en fonction de n.

On note (Sn) et (Dn)  les suites définies pour tout entier naturel n par Sn= An+ Bn et Dn = An-Bn
1.
a. Démontrer que pour tout entier naturel n, Sn+1=Sn

b. Que peut-on en déduire pour la suite (s)?
c. Justifier que, pour tout entier naturel n, Sn= 40 000.

2.

a. Démontrer que pour tout entier naturel n, Dn+1 = 0,6An-0,6Bn

b. En déduire que la suite (Dn) est géométrique de raison 0,6 dont on précisera le premier terme Do

e. En déduire l'expression de Dn en fonction de n.

3.
a. En utilisant les définitions de Sn et de Dn établir que pour tout entier naturel
  An = 1/2(Sn+ Dn) et Bn= (Sn-Dn)

b.
En déduire que pour tout entier naturel n, An= 20000+5000×0,6( à puissance n)
et que b = 20000-5000×0,6 (a la puissance n ).

4. A l'aide du tableur de votre calculatrice, observer ce qui se passe à long terme pur les deux populations

Le Dm est assez long, surtout qu'il y avait un autre exercice au préalable, concernant la partie 2 franchement je bloque complètement dès la première question…

Je m'absente jusqu'en début de soirée ☺️

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 19:02

partie B : (elle n'est pas très longue, on peut la faire ce soir).

Sn= An+ Bn et Dn = An-Bn
1.  
Sn        = An      + Bn
Sn+1  =  An+1  +  Bn+1
tu sais écrire  An+1 et Bn+1  en fonction de An et Bn, n'est ce pas ?
alors  Sn+1  =  ??

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 20:12

Désolé de mon absence, j'essaye ça et je vous redis dans une vingtaine de minute  🙂

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 20:30

Je crois avoir compris!
Est-ce cette expression ?
Sn+1=0.8*An+0.2*Bn+0.8*Bn+0.2*An

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 20:32

J'ai envoyé le message trop rapidement, désolé je voulais rajoutetr que grâce à cette expression, on pouvait démontrer que Sn+1 =Sn

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 20:40

oui,
Sn+1 =  0,8 An + 0,2An + 0,8Bn + 0,2 Bn = An + Bn = Sn

tu réponds aux questions 1b et 1c ?

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 20:44

Pour la 1b je n'ai pas compris, il faut démontrer qu'elle est géométrique ? car je n'ai pas compris la méthode pour démontrer qu'une suite est géométrique en général

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 20:51

la 1:
"1.
a. Démontrer que pour tout entier naturel n, Sn+1=Sn

b. Que peut-on en déduire pour la suite (s)?
c. Justifier que, pour tout entier naturel n, Sn= 40 000.
"

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 20:58

Si Sn+1=Sn, ça voudrais dire qu'elle est arithmétique de raison 1 ?

Pour la 1c .
C'est plus simple, Sn = 40 000 car Sn=An+Bn
Soit la population de la ville est la banlieue 25 000+ 15 000=40 000
Mais je ne sais pas comment l'expliquer de façon « mathématique »

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 21:03

1b :  
Sn+1 = Sn   quel que soit n ===>   la suite est constante.
(reviens aux définitions de ton cours).

1c :
la suite est constante quelque soit n et en particulier pour n=0
S0 = A0 + B0 = 40000
donc Sn = 40000

2a
meme démarche qu'avec 1a
Dn+1  =  An+1   -  Bn+1
à toi !

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 21:16

J'y avais penser à la suite constante mais je n'avais rien dans mon cours pour
Dn+1=0,8*An-0,2*An- 0,8*Bn-0,2*Bn
             =0,6*An-0,6*Bn
Je ne suis vraiment pas Sûr

Je suis vraiment épuisé, pouvons nous continuer demain s'il vous plaît ?
Je vous remercie vraiment de l'aide que vous m'apporter ☺️
            

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 21:22

Dn+1=0,8*An-0,2*An- 0,8*Bn-0,2*Bn
             =0,6*An-0,6*Bn

oui, c'est ça !
Je ne suis vraiment pas Sûr  : pourtant tu retrouves ce qu'on te donne dans l'énoncé..

OK pour continuer demain.
Bonne fin de soirée, et bonne nuit.

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 02-10-21 à 21:28

D'accord parfait merci
Belle soirée à vous, à demain

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 12:09

Bonjour ! Pouvons nous reprendre ?

Pour la suite de la question 2b j'aurais mis
Do=an-ab=25000-15000= 10000
Je n'ai pas compris la question suivante par contre ☺️

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 12:22

bonjour,

oui, on peut reprendre.

on en était à la 2b
b. En déduire que la suite (Dn) est géométrique de raison 0,6 dont on précisera le premier terme Do

une suite géométrique s'écrit
Un+1  =  q * Un

ici, il s'agit donc d'écrire   Dn+1  =  q  *  Dn
à partir de
Dn+1   =0,6*An - 0,6*Bn
tu dois y arriver, n'est ce pas ?

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 12:34

En fait, en cours, je n'ai pas compris vraiment compris les suites géométrique, notamment  comment passer de la forme récurrente à explicite, et démontrer qu'une suite est géométrique... Ma professeur nous a parler des puissances etc mais je n'ai pas compris

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 12:43

Cet exercice est une simple application du cours.

dans une suite géométrique, chaque élement est calculé en multipliant l'élément précedent par une constante qu'on appelle la raison.
exemple :    4  8  16   32  64  
est une suite géométrique de raison q=2  et de premier terme U0=4

une suite géométrique s'écrit
Un+1  =  q * Un

ici, il s'agit donc d'écrire   Dn+1  =  q  *  Dn
à partir de
Dn+1   =0,6*An - 0,6*Bn
tu dois y arriver, n'est ce pas ?
essaie !

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 12:46

info : ma box fait des siennes aujourd'hui. Si je tarde à te répondre, patiente, il me suffit de la relancer, mais ça prend un peu de temps.

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 12:54

D'accord pas de problème ! Je vais ré essayer et je vous redis ☺️

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 13:03

Je trouve Dn+1=0.6*An-Bn

Est-ce bon?

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 13:10

manque des parenthèses, et tu n'es pas au bout..

ci, il s'agit donc d'écrire   Dn+1  =  q  *  Dn
tu n'y es presque .

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 13:15

Ou est ce qu'il manque dès parenthèse ?
Le problème c'est que comme Dn= An -Bn je ne sais pas comment procéder, il faut des puissance ? Désolé mais je suis perdue 😔

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 13:23

Yasmin45, tu te perds un peu vite, je trouve  

Je trouve Dn+1=0.6*An-Bn

il manque des parenthèses.  
Tu devrais écrire Dn+1=0.6*(An-Bn)
(cf les règles de priorité des opérateurs vues au collège).

ensuite, tu as vu que An - Bn =  Dn
donc Dn+1   =   0,6 * Dn
ce qui suffit pour dire que la suite est géométrique de raison q=0,6
(comme je te l'ai précisé il s'agit donc d'écrire   Dn+1  =  q  *  Dn)

ensuite, tu as dit que D0 = A0 - B0 = 10000
c'est juste

question suivante :
dans ton cours, tu dois avoir une formule qui te permet d'écrire la forme explicite Un :
Un =  U0  *  q^n
(c'est ici qu'il y a une puissance..)
applique ça pour écrire la forme explicite de Dn.

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 13:43

D'accord alors du coup,

2b.
Dn+1=0.6*(an-bn)
La suite est géométrique de raison 0.6, et de premier terme 10 000 car D0=A0-BO= 10 000
2c.
Dn=10 000*0.6 à la puissance n
je crois que c'est ca

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 13:50


b.
Dn+1=0.6*(an-bn)      ===>  encore une fois, c'est non terminé !
tu dois   écrire que   an - bn = Dn
donc Dn+1   =  0.6 * Dn
(c'est seulement à partir de là que tu peux dire que la suite est géométrique)
La suite est géométrique de raison 0.6, et de premier terme 10 000 car D0=A0-BO= 10 000  ==> OUI

2c.
Dn=10 000*0.6 à la puissance n
OUI  !    
pour puissance, tu peux écrire ^
Dn = 10000*0.6^n

tu continues ?
3.
a. En utilisant les définitions de Sn et de Dn établir que pour tout entier naturel
  An = 1/2(Sn+ Dn) et Bn= (Sn-Dn)

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 14:00

Ahh génial !
merci je ne savais pas comment écrire la racine merci
oui je continue
alors pour la 3c.

Je n'ai pas trop compris mais d'après moi, Sn=An+Bn et Dn=An-Bn

Il est donc "logique" que l'on multiplie le tout par 1/2 soit 0.5 C'est en fait une division par 2

Mais je ne vois pas comment répondre mathématiquement parlant

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 14:06

ha ha ! j'adore ta "logique" !
si tu divises tout par 2, tu n'arrives pas vraiment à ce qu'on te demande :
Sn=An+Bn et Dn=An-Bn
==>  Sn/2=(An+Bn)/2 et Dn/2=(An-Bn)/2  
mmhh...  

Sn    =    An  +  Bn
Dn   =     An -   Bn
Sn+Dn = ??

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 14:28

Oups j'ai répondu trop rapidement😅

Sn=An+Bn
Dn=An-Bn

Sn+Bn= 1/2 An+ 1/2Bn = 1/2 (An+Dn)  

Pour Bn

Sn=An+Bn
Dn=An-Bn

Sn-Dn=1/2Sn-1/2Bn= 1/2 (Sn-Dn)
C'est ca ?

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 14:48

euh, je ne te suis pas...

Sn=An+Bn
Dn=An-Bn

Sn+Bn(?)= 1/2 An+ 1/2Bn = 1/2 (An+Dn)  

pourquoi écris tu cela et en quoi cela répond il à la question ?


pour An :
Sn=An+Bn
Dn=An-Bn
Sn + Dn   =  An + Bn   +  An - Bn =  2 An
d'où    An =  ?


pour Bn, meme remarque ...  
fais attention à ce que tu écris
tu écris que Sn - Dn =  1/2 (Sn - Dn)   !  tu vois bien que c'est faux, non ?

pour Bn :
Sn=An+Bn
Dn=An-Bn
Sn -  Dn   =  ?

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 15:05

désolé de mon absence, je réessaye et je vous redis aussitôt

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 15:16

je vous met les réponses, je crois avoir compris
3a.

1/2 (sn+dn)=1/2 an+bn+an-bn)
                          =1/2 (2an)
                            =an

    On constate donc que an= 1/2 (sn+dn)

  1/2(sn-dn)= 1/2 (an+bn-(an-bn)
                          = 1/2 (2bn)
                          =bn

on constate que bn=(sn-dn)

est ce bon ?

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 15:17

j'ai oublié une parenthèse, faute de frappe désolé

Posté par
Leile
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 15:24

oui, c'est correct.
moi, j'étais partie sur    Sn+Dn = 2An    donc   An = (Sn+Dn)/2
et  Sn - Dn =  2 Bn    d'où  Bn=(Sn-Dn)/2

mais comme tu l'as fait en divisant tout de suite, c'est très bien aussi.

3b
En déduire que pour tout entier naturel n,
An= 20000+5000×0,6^n
et que b = 20000-5000×0,6 ^n

montre ce que tu écris.

Posté par
Yasmin45
re : Devoirs, suites 03-10-21 à 16:16

Désolé je n'avais pas vu votre message
3b.

Nous avons démontré que  An=1/2(sn+dn)
    An=1/2(40 000+0.6^n*10 000)
   An= 20 000 +5 000*0.6^n

pour Bn on a démontré que  bn=1/2 (sn-bn)
                                                               bn=1/2( 40 000-0.6^n*10 000)
                                                               bn= 20 000-5000*0.6^n

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